Dynkin-System Nachweis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega=\{1,2,3,4\}. [/mm] E={{1,2},{2,4},{1,3},{3,4}}
a) Bestimmen Sie das von E erzeugte Dynkin-System [mm] \delta(E)
[/mm]
b) Bestimmen Sie die von E erzeugte [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \sigma(E) [/mm] |
Hallo,
ich frage mich, wie man die Aufgabe am besten angeht.
Also ich hab angefangen, Vereinigungen und Komplemente von E etc. zu bilden, aber das hilft auch nicht wirklich weiter. Wie geht man allgemein bei so was vor ? Würde raten, dass gilt: [mm] \sigma(E)=\mathcal{P}(\Omega)
[/mm]
[mm] \sigma(E) [/mm] kann allerdings nicht mit [mm] \delta(E) [/mm] übereinstimmen, da E nicht durchschnittstabil ist.
Könnte mir jemand weiterhelfen?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]\Omega=\{1,2,3,4\}.[/mm] E={{1,2},{2,4},{1,3},{3,4}}
> a) Bestimmen Sie das von E erzeugte Dynkin-System
> [mm]\delta(E)[/mm]
> b) Bestimmen Sie die von E erzeugte [mm]\sigma[/mm] -Algebra
> [mm]\sigma(E)[/mm]
> Hallo,
>
> ich frage mich, wie man die Aufgabe am besten angeht.
> Also ich hab angefangen, Vereinigungen und Komplemente von
> E etc. zu bilden, aber das hilft auch nicht wirklich
> weiter. Wie geht man allgemein bei so was vor ? Würde
> raten, dass gilt: [mm]\sigma(E)=\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
Durch einen passenden Schnitt kriegst du jede einelementige Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] hin, also z.B. [mm]\{1,2\} \cap \{2,4\} = \{2\}[/mm].
Und dann benutze, dass abzählbare Vereinigungen auch drin sein müssen in der [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
> [mm]\sigma(E)[/mm] kann allerdings nicht mit [mm]\delta(E)[/mm]
> übereinstimmen, da E nicht durchschnittstabil ist.
>
Nicht unbedingt. Per Zufall kann es doch trotzdem eintreten, dass sie übereinstimmen.
> Könnte mir jemand weiterhelfen?
>
> LG
> Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Fry |
ok ! Danke schön,
dann ist also das Dynkin-System mit der Sigma-Algebra identisch, da ja für Dynkin-Systeme die Vereinigungsstabilität für paarweise disjunkte Mengen gilt und man alle Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] als Vereinigung von Einpunktmengen schreiben kann. ganz grob gesprochen
Viele Grüße
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Merle23 |
> ok ! Danke schön,
> dann ist also das Dynkin-System mit der Sigma-Algebra
> identisch, da ja für Dynkin-Systeme die
> Vereinigungsstabilität für paarweise disjunkte Mengen
> gilt und man alle Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] als Vereinigung
> von Einpunktmengen schreiben kann. ganz grob gesprochen
>
Achtung! Du musst erstmal auf die einpunktigen Mengen kommen.
Du kannst nämlich nicht wie bei der [mm] \sigma-Algebra [/mm] schreiben [mm]\{2\} = (\{1,2\}^c \cup \{2,4\}^c)^c[/mm], da die Vereinigung nicht disjunkt ist.
Überprüfe also nochmal dein Ergebnis bzgl. des Dynkin-Systems.
> Viele Grüße
> Fry
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