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Hallo zusammen
Ich stehe da gerade bei einer Aufgabe ein bisschen an, da mir vermutlich die Grundkenntnisse dazu fehlen.
Folgende Aufgabe:
Gegeben:
Zeit (s)
Geschwindigkeit (m/s)
136s => 15.1 m/s
138s => 12.3 m/s
140s =>10.1 m/s
142s=>8.3 m/s
144s=>6.8 m/s
Berechnen der Weg-Zeit-Funktion...
Meine Überlegungen waren eigentlich folgende: Jeweils mit der mittleren Geschwindigkeit rechnen und diese mit der Zeitdifferenz multiplizieren...also bei der ersten (138s-136s)*((15.1m/s + 12.3m/s)/2), dann kam ich dort beispielsweise auf: 27.4 für den Weg...laut Resultat wären es 27.39 m ...bei der zweiten bekomme ich 22.4 m, Lösung ist 22.42...
Wie ihr seht, stimmen jeweils die letzten Stellen nicht...meine Überlegungen waren...das was ich ja mache ist eigentlich nichts anderes, als dass ich annehme, dass sich die Geschwindigkeit linear in diesen 2 Sekunden Differenz entwickelt...was meiner Meinung nach auch nicht stimmen kann...denn laut einer aufgezeichneten Kurve, ist auch dort eine Rundung drin...das heisst für mich wiederum, Fläche unter der Kurve bestimmen = Integral...mein Problem ist nur, ich kann leider das Integral noch nicht bestimmen, da ich dies noch nicht gelernt habe (kommt erst noch)... Kann mir dennoch irgendjemand zeigen (auch wenn Integral) dahinter steckt, wie man das so genau berechnen kann? Vielen Dank.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Sa 17.04.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
> Folgende Aufgabe:
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> Gegeben:
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> Zeit (s)
> Geschwindigkeit (m/s)
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> 136s => 15.1 m/s
> 138s => 12.3 m/s
> 140s =>10.1 m/s
> 142s=>8.3 m/s
> 144s=>6.8 m/s
>
> Berechnen der Weg-Zeit-Funktion...
Du kannst einfach die Daten in einem Diagramm auftragen, eine Regressionsgrade durchziehen und anhand dessen Deine Weg-Zeit-Funktion ermitteln. Oder Du gehst über den Mittelwert...
Gruß Christian ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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Hallo!
Das wäre nur richtig, wenn man einen linearen Zusammenhang erwartet, und wenn man sich das mal in ein Diagramm einzeichnet, kommt man ganz schnell drauf, daß das nicht linear ist.
Dies ist also KEIN Fall mit konstanter Beschleunigung.
Im Prinzip hat Kroni weiter unten die beste - Methode - wenngleich man wohl auf das Integrieren gerne verzichten kann, denn man sollte wissen, wie sich das bei Polynomen verhält.
Ich hätte es eher so formuliert:
Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) ist die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion s(t) nach der Zeit.
Wenn ich also alleine wegen des Aussehens der Daten annehme, daß da ne Parabel dahinter steckt, kann ich [mm] v(t)=a+b*t+c*t^2 [/mm] annehmen, es gilt dann [mm] s(t)=s_0+at+\frac{1}{2}b*t^2+\frac{1}{3}c*t^3
[/mm]
Aus drei der fünf Datensätze kann ich mir mit [mm] v(t)=a+b*t+c*t^2 [/mm] die Konstanten a, b und c bestimmen. (Stichwort Steckbriefaufgabe)
Natürlich ist dann noch lange nicht gesagt, daß die anderen beiden Datensätze auch da rein passen (Im Sinne der Rechengenauigkeit). Dann kann man natürlich hergehen, und ein Polynom 5. Grades für v(t) annehmen, dann hat man 5 Parameter, die sich mit 5 Datensätzen berechnen lassen. Aber das scheint mir ein wenig Overkill, ich würde erstmal schaun, wie gut die Parabel da rein paßt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
was du auch noch machen kannst, ist ein Polynom von der Ordnung aufstellen, die der Anzahl deiner Messpunkte entspricht, und dort dann das Polynom durchlegen. Dann hast du die Kruemmung auf jeden Fall mit beruecksichtigt und wirst dann eine Funktion fuer $v(t)$ erhalten.
Dann kannst dus integrieren, d.h. $s(t) = [mm] \int_{t_0}^{t}\,v(t')\,\mathrm{d}t' [/mm] + [mm] s(t_0)$. [/mm] Wenns dann ein Polynom ist, gilt fuer das Integral
[mm] $\int\, [/mm] a [mm] t^b \,\mathrm{d}t [/mm] = a(b+1) [mm] t^{b+1}$ [/mm] ausser fuer $b=-1$ gilt das nicht. Das ist dann die Stammfunktion, dann muss man noch, wenn $F$ die Stammfunktion zu $f$ ist, was bedeutet, dass die Ableitung von $F$ wieder $f$ ist, wissen, dass [mm] $\int_a^b\,f(x)\,\mathrm{d}x [/mm] = F(a) - F(b)$ gilt.
Wenn du das also alles rechnen koenntest, koenntest du eine besser genaeherte Version fuer $s(t)$ berechnen zwischen den Zeitpunkten [mm] $136\,\text{s}$ [/mm] und [mm] $144\,\text{s}$.
[/mm]
Deine Version ist aber an sich das schnellste und einfachste, und sogar noch 'besser' im Sinne der signifikanten Stellen, da du in den Angaben ja auch nur 3 signifikante Ziffern gegeben hast, und dann in der Loesung aufmal eine 4. dazu genommen werden.
Viele Gruesse,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 So 18.04.2010 | | Autor: | Nicole1989 |
Vielen Dank für die Ansätze, die ihr mir da gegeben habt. Dann werde ich das Ganze nochmals anschauen.:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, da ne Parabel 4, Ordnung reinzufitten, ist natuerlich etwas 'overkill', aber das gibt natuerlich fuer 5 Datenpunkte die beste Approximation. Ich hab das jetzt mal numerisch berechnen lassen, und fuer den Term mit [mm] $x^4$ [/mm] gibt das einen Vorfaktor in der Groessenordnung [mm] $10^{-4}$. [/mm] Daran kann man dann ganz gut sehen, dass es wohl auch ein Polynom 3. Ordnung getan haette. Aber klar, wenn mans aufm Blatt papier rechnen mag, ist es natuerlich erstmal sinnvoller, das Polynom von moeglichst niedriger Ordnung zu waehlen.
LG
Kroni
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Hallo!
Ja, ich hab eben auch mal kurz ne Parabel durchgelegt. Durch den ersten, letzten und mittleren Wert geht die ziemlich gut durch, nur die beiden anderen Werte liegen etwas daneben, allerdings auch nur um weniger als 0,06 oder so, das sollte normalerweise reichen.
Es ist halt auch die Frage, mit welchem Aufwand die Aufgabe gelöst werden soll. Ich verstehe die Aufgabenstellung schon so, daß hier ne Funktion gesucht ist, demnach reicht es nicht, hier ne Tabellenkalkulation durchzuführen.
Und anschließend muß man sich im Klaren sein, daß ne quadratische Funktion selten exakt gefunden werden kann, wenn die Messwerte gerundete Dezimalbrüche sind. Sind es Messwerte, macht ne höhere Ordnung hier erst recht keinen Sinn, aber ich glaube auch nicht, daß Nicole hier wirklich fitten soll...
Naja, Vorschläge gibts ja nu genug 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 So 18.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das stimmt natuerlich. Wenns Messwerte sind, sollte auch wohl eine Polynom niedrigerer Ordnung reichen, aber dann sollte es ja auch noch die entsprechenden Messunsicherheiten geben, die man dann ja auch noch mit in die Diskussion einbeziehen koennte etc...
Hm, ja, die Aufgabe sagt ja, man solle die Weg-Zeit Funktion berechnen. Deshalb tendiere ich auch dazu, eine Fkt. auszurechnen, aber gut, ob man jetzt das Polynom anfitten laesst oder aber sich die Muehe selber macht, die 'Steckbriefaufgabe' zu loesen, ist dann wohl eine Sache der Faulheit *g*.
LG
Kroni
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