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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 23.10.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | In welchem Punkt Q durchstößt die Gerade [mm] \vec{x1} [/mm] die (x. y)-Ebene, wenn sie durch P(3;-3;4) geht und senkrecht auf der Schnittgeraden [mm] \vec{x2} [/mm] der beiden Ebenen:
E1: -5x+y-7z=2 und E2: 3x+5y-7z=-18 steht?
Wieso durchstößt die Gerade [mm] \vec{x2} [/mm] nicht die (x, z)-Ebene? |
Meine Idee dabei ist, erst einmal die Schnittgerade der Ebenen zu ermitteln. Diese ist G: [mm] \vec{g}=\vektor{0\\ -4 \\ \bruch{-6}{7}}+\lambda*\vektor{1 \\ -2 \\ -1}. [/mm] Danach könnte man ja einen Vektor bestimmen, der senkrecht auf dem Richtungsvektor der Schnittgeraden liegt und durch den Punkt P geht. Die Sache ist nur, dass es sich dabei nicht um irgendeinen beliebigen Normalvektor handeln muss. Nun könnte man doch mit der Berechnung des Abstandes Punkt-Gerade einen Fusspunkt F auf der Schnittgeraden ermitteln und die Differenz zwischen dem Punkt P und meinem Fußpunkt zur Bestimmung des Richtungsvektors der Geraden [mm] \vec{x2} [/mm] nutzen. Der Punkt P wäre dann mein Ortsvektor der Geraden. Und am Ende müsste man nur den Durchstoßpunkt ermitteln. Was haltet ihr von der Idee? Zudem hätte ich noch eine andere Frage: es ist ja generell möglich unzählig viele Normalenvektoren von einer Geraden zu bestimmen. Zwar müssten diese Vektoren die gleiche Richtung haben, aber man kann die einzelnen Normalvektoren komischerweise nicht durch Linearkombinationen voneinander darstellen. Warum ist das so?
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> In welchem Punkt Q durchstößt die Gerade [mm]\vec{x1}[/mm] die (x.
> y)-Ebene, wenn sie durch P(3;-3;4) geht und senkrecht auf
> der Schnittgeraden [mm]\vec{x2}[/mm] der beiden Ebenen:
> E1: -5x+y-7z=2 und E2: 3x+5y-7z=-18 steht?
> Wieso durchstößt die Gerade [mm]\vec{x2}[/mm] nicht die (x,
> z)-Ebene?
> Meine Idee dabei ist, erst einmal die Schnittgerade der
> Ebenen zu ermitteln. Diese ist G: [mm]\vec{g}=\vektor{0\\ -4 \\ \bruch{-6}{7}}+\lambda*\vektor{1 \\ -2 \\ -1}.[/mm]
Hallo,
Deine Schnittgrade stimmt nicht.
Ich habe einen geringfügig anderen Richtungsvektor herausbekommen, und ich habe bemerkt, daß Dein Stützvektor nicht in der zweiten Ebene liegt.
> Danach könnte man ja einen Vektor bestimmen, der senkrecht
> auf dem Richtungsvektor der Schnittgeraden liegt und durch
> den Punkt P geht.
Ja, das wäre ein Ziel.
> Die Sache ist nur, dass es sich dabei
> nicht um irgendeinen beliebigen Normalvektor handeln muss.
Genau. Der muß ja in die richtige Richtung zeigen, um durch P zu gehen.
> Nun könnte man doch mit der Berechnung des Abstandes
> Punkt-Gerade einen Fusspunkt F auf der Schnittgeraden
> ermitteln und die Differenz zwischen dem Punkt P und meinem
> Fußpunkt zur Bestimmung des Richtungsvektors der Geraden
> [mm]\vec{x2}[/mm] nutzen.
Ja.
> Der Punkt P wäre dann mein Ortsvektor der
> Geraden.
Nein, der Differenzvektor ist der Richtungsvektor
> Und am Ende müsste man nur den Durchstoßpunkt
> ermitteln. Was haltet ihr von der Idee?
Ganz viel.
> Zudem hätte ich
> noch eine andere Frage: es ist ja generell möglich unzählig
> viele Normalenvektoren von einer Geraden zu bestimmen. Zwar
> müssten diese Vektoren die gleiche Richtung haben, aber man
> kann die einzelnen Normalvektoren komischerweise nicht
> durch Linearkombinationen voneinander darstellen. Warum ist
> das so?
Hier geht etwas durcheinander. Du mußt unterscheiden, ob Du in der Ebene bist, oder im Raum. Die Normalenvektoren, die Du von einer Geraden in der Ebene findest, sind alle linear abhängig, sie sind jeweils (pos. oder neg.) Vielfache voneinander.
Im Raum ist das anders, denn da stehen Dir ganz viele verschiedene Richtungen für Normalenvektoren zur Verfügung. Allerdings findest Du auch hier jeweils höchstens zwei linear unabhängige, weil diese Normalenvektoren alle in der Ebene liegen, die senkrecht zur Geraden ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Owen |
Oh ja, stimmt der Ortsvektor der Schnittgeraden ist fehlerhaft. Er müsste [mm] \vektor{0 \\ -5 \\ -1} [/mm] sein. Ansonsten weiß ich jetzt Bescheid, vielen Dank
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