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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 24.01.2014 | | Autor: | helgeho |
Hallo,
ich habe das Problem, dass ich für mehreren Winkeln (A-N) den Cosinus und daraus den Durchschnitt berechnen möchte:
[1] [mm] \bruch{cos(A) + cos(B) + ... + cos(N)}{n}
[/mm]
Nun kenne ich den Durchschnitt der Winkel:
[2] [mm] \bruch{A + B + ... + N}{n}
[/mm]
Ist es möglich, von [2], ohne Kenntniss der einzelnen Winkel, das Ergebnis für [1] zu berechnen?
Mein erster Gedanke war, dass ja gilt:
[mm] \cos(x) [/mm] + [mm] \cos(y) [/mm] = [mm] 2cos(\bruch{x+y}{2})cos(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
[mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] ist genau mein Durchschnitt, allerdings nur von zwei Winkeln und ich benötige außerdem [mm] \bruch{x-y}{2}.
[/mm]
Eine andere Idee ist folgende Formel:
[mm] \cos \left(x+y+z\right)=\cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] y [mm] \cos [/mm] z - [mm] \cos [/mm] x [mm] \sin [/mm] y [mm] \sin [/mm] z - [mm] \cos [/mm] y [mm] \sin [/mm] x [mm] \sin [/mm] z - [mm] \cos [/mm] z [mm] \sin [/mm] x [mm] \sin [/mm] y
Hierbei ist [mm]x+y+z[/mm] ja mein Ergebnis aus [2] multipliziert mit der Anzahl der Winkel (n). Da es für Sinus eine ähnliche Formel gibt, dachte ich, ich könne diese Umformen und voneinander abziehen, so dass ich am Ende genau meine gewünschte Formel [1] erhalte. Allerdings schaffe ich es nie so weit.
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ich habe also das Ergebnis [2] und die Anzahl der Winkel (n), und möchte daraus [1] berechnen.
Ich würde mich über jede Hilfe sehr Freuen!
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Fr 24.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe das Problem, dass ich für mehreren Winkeln (A-N)
> den Cosinus und daraus den Durchschnitt berechnen möchte:
> [1] [mm]\bruch{cos(A) + cos(B) + ... + cos(N)}{n}[/mm]
>
> Nun kenne ich den Durchschnitt der Winkel:
> [2] [mm]\bruch{A + B + ... + N}{n}[/mm]
>
> Ist es möglich, von [2], ohne Kenntniss der einzelnen
> Winkel, das Ergebnis für [1] zu berechnen?
Die klare Antwort lautet "nein".
Einfaches Gegenbeispiel: der Durchschnitt dreier winkel betrage 180°
Das lässt sich mit 90°, 180° und 270° ebenso realisieren wie mit 120°, 180° und 240°.
Im ersten Fall ist der "Kosinusdurchschnitt" genau -2/3, im zweiten Fall ist er genau -1/3.
Gruß Abakus
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> Mein erster Gedanke war, dass ja gilt:
> [mm]\cos(x)[/mm] + [mm]\cos(y)[/mm] =
> [mm]2cos(\bruch{x+y}{2})cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] ist genau mein Durchschnitt, allerdings nur
> von zwei Winkeln und ich benötige außerdem
> [mm]\bruch{x-y}{2}.[/mm]
>
> Eine andere Idee ist folgende Formel:
> [mm]\cos \left(x+y+z\right)=\cos[/mm] x [mm]\cos[/mm] y [mm]\cos[/mm] z - [mm]\cos[/mm] x [mm]\sin[/mm]
> y [mm]\sin[/mm] z - [mm]\cos[/mm] y [mm]\sin[/mm] x [mm]\sin[/mm] z - [mm]\cos[/mm] z [mm]\sin[/mm] x [mm]\sin[/mm] y
>
> Hierbei ist [mm]x+y+z[/mm] ja mein Ergebnis aus [2] multipliziert
> mit der Anzahl der Winkel (n). Da es für Sinus eine
> ähnliche Formel gibt, dachte ich, ich könne diese
> Umformen und voneinander abziehen, so dass ich am Ende
> genau meine gewünschte Formel [1] erhalte. Allerdings
> schaffe ich es nie so weit.
>
> Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ich habe also das
> Ergebnis [2] und die Anzahl der Winkel (n), und möchte
> daraus [1] berechnen.
>
> Ich würde mich über jede Hilfe sehr Freuen!
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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