"Durchmesser" eines Dreiecks < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mo 03.12.2012 | | Autor: | samara |
| Aufgabe | Sei [mm] \Delta [/mm] das von [mm] z_{0},z_{1},z_{2}\in \IC [/mm] aufgespannte Dreieck, d.h. [mm] \Delta:=conv\{z_{0},z_{1},z_{2}\}:=\{\summe_{k=0}^{2}t_{k}z_{k} | \summe_{k=0}^{2}t_{k}=1, t_{k}\ge0\}
[/mm]
Ferner bezeichnen wir mit [mm] diam(\Delta):=max\{|z-w| | z,w\in\Delta\} [/mm] den Durchmesser von [mm] \Delta.
[/mm]
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Für alle [mm] z,w\in\Delta [/mm] gilt [mm] |z-w|\le max\{|z_{0}-w|,|z_{1}-w|,|z_{2}-w|\}
[/mm]
(b) [mm] diam(\Delta)=max\{|z_{0}-z_{1}|,|z_{1}-z_{2}|,z_{2}-z_{0}|\} [/mm] |
Hallo! :)
Mein Problem bei der Aufgabe ist folgendes: bei der (a) habe ich nur eine zu schwache Abschätzung herausbekommen, nämlich
[mm] |z-w|=|t_{0}z_{0}+t_{1}z_{1}+t_{2}z_{2}-w|\le|z_{0}+z_{1}+z_{2}-w|\le|3*max\{z_{0},z_{1},z_{2}\}-w|
[/mm]
begründet durch [mm] t_{k}z_{k} \le z_{k}, [/mm] da [mm] t_{k}\le1.
[/mm]
Ist diese überhaupt richtig, oder muss ich da ganz anders rangehen?
Die (b) habe ich anschaulich zwar verstanden (denke ich), kann dies aber nicht mathematisch formulieren. Sie besagt doch im Prinzip nur, dass die Entfernung von zwei beliebigen Punkten auf dem Dreieck kleiner sein muss als die größte "Seitenlänge" des Dreiecks...?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
edit: Habe die Aufgabenstellung verbessert, da habe ich wohl geschlafen, tut mir leid. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Delta[/mm] das von [mm]z_{0},z_{1},z_{2}\in \IC[/mm] aufgespannte
> Dreieck, d.h.
> [mm]\Delta:=conv\{z_{0},z_{1},z_{2}\}:=\{\summe_{k=0}^{2}t_{k}z_{k} | \summe_{k=0}^{2}t_{k}=1, t_{k}\ge0\}[/mm]
>
> Ferner bezeichnen wir mit [mm]diam(\Delta):=max\{|z-w| | z,w\in\Delta\}[/mm]
> den Durchmesser von [mm]\Delta.[/mm]
> Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
>
> (a) Für alle [mm]z,w\in\Delta[/mm] gilt [mm]|z-w|\le max\{|z_{0}-w|,|z_{1}-w|,|z_{2}-w|\}[/mm]
>
> (b)
> [mm]diam(\Delta)=max\{|z_{0}-z_{0}|,|z_{0}-z_{0}|,z_{0}-z_{0}|\}[/mm]
Hä ? [mm] =max\{|z_{0}-z_{0}|,|z_{0}-z_{0}|,z_{0}-z_{0}|\}=0 [/mm] !
Also, wie soll es lauten ?
> Hallo! :)
>
> Mein Problem bei der Aufgabe ist folgendes: bei der (a)
> habe ich nur eine zu schwache Abschätzung herausbekommen,
> nämlich
>
> [mm]|z-w|=|t_{0}z_{0}+t_{1}z_{1}+t_{2}z_{2}-w|\le|z_{0}+z_{1}+z_{2}-w|\le|3*max\{z_{0},z_{1},z_{2}\}-w|[/mm]
>
> begründet durch [mm]t_{k}z_{k} \le z_{k},[/mm] da [mm]t_{k}\le1.[/mm]
> Ist diese überhaupt richtig, oder muss ich da ganz anders
> rangehen?
Das ist alles grober Unfug !!!! Auf [mm] \IC [/mm] haben wir keine Ordnung !
FRED
>
> Die (b) habe ich anschaulich zwar verstanden (denke ich),
> kann dies aber nicht mathematisch formulieren. Sie besagt
> doch im Prinzip nur, dass die Entfernung von zwei
> beliebigen Punkten auf dem Dreieck kleiner sein muss als
> die größte "Seitenlänge" des Dreiecks...?
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe! :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Di 04.12.2012 | | Autor: | samara |
Das stimmt, die Aufgabe b) wie ich sie da geschrieben habe ist Schwachsinn, habe das mal korrigiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das stimmt, die Aufgabe b) wie ich sie da geschrieben habe
> ist Schwachsinn, habe das mal korrigiert.
Fred meinte auch, dass Deine Abschätzung
> begründet durch $ [mm] t_{k}z_{k} \le z_{k}, [/mm] $ da $ [mm] t_{k}\le1. [/mm] $
"Schwachsinn" ist. Wie gesagt: Auf [mm] $\IC$ [/mm] existiert keine Ordnung. Oder hast
Du schonmal gesehen, dass $1+i [mm] \le 3+5i\,$ [/mm] wäre?
Übrigens: Überlege mal, wenn dem doch so wäre, auf [mm] $\IC$ [/mm] sei also durch
[mm] $\le$ [/mm] eine Ordnung gegeben. Quadratzahlen (eines jeden geordneten)
Körpers sind dann stets [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] (Beweis?) Andererseits ist [mm] $i^2=... [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm]
(Alternativ kann man auch einfach zeigen: Es kann weder $i [mm] \ge 0\,,$
[/mm]
noch $i [mm] \le [/mm] 0$ sein...)
Gruß,
Marcel
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