Dualraum von Banachraumfolgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:15 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Dhana |
| Aufgabe | Sei [mm](X_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge von Banachräumen und [mm]1 \le p < \infty[/mm]. Dann ist
[mm]\oplus_p X_n := \{ (x_n)_{n \in \IN}: x_n \in X_n \forall n \in \IN, \summe_{n=1}^{\infty} ||x_n||^p < \infty\}[/mm]
mit der Norm
[mm]||(x_n)_{n \in \IN}|| = (\summe_{n=1}^{\infty}||x_n||^p)^{1/p}[/mm]
ein Banachraum (was wir zeigen könnten, wenn wir müssten). Zeigen Sie:
a) Im Fall [mm]1 < p < \infty[/mm] gilt für [mm]q[/mm] mit [mm]\bruch{1}{q} + \bruch{1}{p} = 1[/mm]:
[mm](\oplus_p X_n)' \cong \oplus_q X'_n[/mm].
b) Seien [mm]\Omega \subseteq \IR^r[/mm] und [mm]\Omega = \bigcup_{n \in \IN}^{} \Omega_n[/mm] mit paarweise disjunkten Borelmengen [mm]\Omega_n \subseteq \IR^r[/mm]. Dann gilt (bzql. des Lebesque-Maßes)
[mm]L^p(\Omega) \cong \oplus_q X'_n[/mm].
c) Kompletieren Sie mit Hilfe von (a) und (b) den Beweis der Dualität von [mm]L^p(\Omega)[/mm] und [mm]L^q(\Omega)[/mm]. Genauer: Für jede beschränkte Borelmenge [mm]\Omega \subset \IR^r[/mm] wissen Sie bereits aus der Vorlesung, dass [mm]L^p(\Omega)' \cong L^q(\Omega)[/mm]. Zeigen Sie dasselbe für alle Borelmengen [mm]\Omega \subseteq \IR^r[/mm], insbesondere
[mm]L^p(\IR^r)' \cong L^q(\IR^r)[/mm]. |
Ich habe jetzt das ganze Wochenende gegrübelt, aber komme da auf keinen grünen Zweig.
Bei der Aufgabe a) weiß ich, daß man einen Funktion T definiert, so dass
[mm](Tx)(y) := \summe_{n=1}^{/infty} x_n y_n[/mm]
Nun muß man zeigen, daß T ein isometrischer Isomorphismus ist.
[mm]||Tx|| \le ||x||_q[/mm] folgt aus Hölder.
T injektiv habe ich auch einigermaßen mit den Einheitsvektoren, fehlt also noch T surjektiv und [mm]||Tx|| \ge ||x||_q[/mm].
Ja, da hört es dann auf, die Surjektivität soll ziemlich schwierig sein und ich hab nichtmal eine Idee wie es gehen kann :(
In der Vorlesung haben wir was für die [mm]l^p und l^q[/mm] gemacht, da hat der Prof ein [mm]z \in (l^p)'[/mm] genommen, definiert die [mm]x_n := z(e_n)[/mm] der Einheitsvektoren und [mm]x := (x_n)_{n \in \IB} = (z(e_n))_{n \in \IN}[/mm]
Dann muss man zeigen, daß [mm]x \in l^q, Tx = z, ||x||_q \le ||Tx|| = ||z||[/mm]. Dazu betrachtet man noch [mm]w_n := |x_n|^q/x_n falls x_n \not= 0 und 0 falls x_n = 0[/mm]. Diese Folge muß man hier sicherlich abändern, aber auch so eine Folge verwenden, aber mir fehlt jeglicher Durchblick.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 23.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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