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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 26.11.2012 | | Autor: | GerhardK |
Guten Tag,
ich habe ein einige Probleme mit den Dualräumen ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte :( ich liste sie mal auf:
Angenommen [mm] V=K^n [/mm] und wir betrachten die Abbildung [mm] K^n \to [/mm] K [mm] (K=\IR)
[/mm]
1. Sei (e1...en) eine Basis von V dann ist (e1*...en*) eine Basis von V*
so wie ich es verstanden habe ist V* die Menge aller linearen Abbildungen von [mm] V\toK. [/mm] Die Basis von V* müssten demnach Funktionen sein. Wie kann ich eine Menge von Funktionen als Basis bezeichnen?? Ich kann doch nicht aus einer Menge von Funktionen mehrere Funktionen machen oder geht das doch?
2. ei*(ej) [mm] =\delta_{ij} \rightarrow [/mm] wenn i=j 1 andernfalls 0
was sagt mir das? also ich verstehe im moment folgendes darunter:
ej ist ein Basisvektor aus V dieser Basisvektor hat an der stelle j eine 1
(bisher ganz logisch) aber wodurch unterscheidet sich ei* z.B. ej* ?
ich verstehe dieses Delta konzept nicht :(
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo GerhardK,
>
> ich habe ein einige Probleme mit den Dualräumen ich wäre
> sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte :( ich liste
> sie mal auf:
>
> Angenommen [mm]V=K^n[/mm] und wir betrachten die Abbildung [mm]K^n \to[/mm] K
> [mm](K=\IR)[/mm]
>
> 1. Sei (e1...en) eine Basis von V dann ist (e1*...en*) eine
> Basis von V*
> so wie ich es verstanden habe ist V* die Menge aller
> linearen Abbildungen von [mm]V\to K.[/mm] Die Basis von V*
> müssten demnach Funktionen sein.
Richtig!
> Wie kann ich eine Menge
> von Funktionen als Basis bezeichnen?? Ich kann doch nicht
> aus einer Menge von Funktionen mehrere Funktionen machen
> oder geht das doch?
[mm] $V^\star$ [/mm] ist ein Vektorraum, nicht nur eine Menge von Funktionen. Die Addition und die skalare Multiplikation in [mm] $V^\star$ [/mm] ist "punktweise" definiert, d. h.
[mm] $v^\star+w^\star [/mm] $ ist die lineare Abbildung [mm] $V\to [/mm] K$ mit [mm] $a\mapsto v^\star(a)+w^\star(a)$
[/mm]
Analog die Skalarmultiplikation.
>
> 2. ei*(ej) [mm]=\delta_{ij} \rightarrow[/mm] wenn i=j 1 andernfalls
> 0
> was sagt mir das? also ich verstehe im moment folgendes
> darunter:
> ej ist ein Basisvektor aus V dieser Basisvektor hat an der
> stelle j eine 1
> (bisher ganz logisch) aber wodurch unterscheidet sich ei*
> z.B. ej* ?
[mm] $e_i^\star$ [/mm] ist die lineare Abbildung, die [mm] $e_i$ [/mm] auf $1$ abbildet und alle anderen Standardbasisvektoren von $V$ auf 0. Damit ist [mm] $e_i^\star$ [/mm] eindeutig definiert. Die zugehörige Matrix bzgl. der Standardbasis von $V$ ist eine Zeile mit 1 an der i-ten Stelle und 0 sonst.
> ich verstehe dieses Delta konzept nicht :(
[mm] $\delta_{ij} [/mm] = 1$ falls i=j und 0 sonst.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mo 26.11.2012 | | Autor: | GerhardK |
Vielen Dank erstmal Wolfgang!!!!
[mm] >$e_i^\star$ [/mm] ist die lineare Abbildung, die [mm] $e_i$ [/mm] auf $1$ abbildet
war mir so gar nicht klar!
aber ich verstehe diese "punktweise" definition nicht
[mm] >$v^\star+w^\star [/mm] $ ist die lineare Abbildung [mm] $V\to [/mm] K$ mit [mm] $a\mapsto v^\star(a)+w^\star(a)$
[/mm]
ich versuche es mal in Worte zu fassen:
ein Vektor [mm] a\inV [/mm] wird auf K abgebildet v*(a)+w*(a) aber wie sind diese Funktionen definiert???
aus der definition [mm] \delta_ij [/mm] weiss ich dass [mm] v_a*(a) [/mm] = 1 ist und [mm] w_a*(a)=1 [/mm] ist und in allen anderen fällen 0
d.h. v*(a)+w*(a) = 2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Vielen Dank erstmal Wolfgang!!!!
> >[mm]e_i^\star[/mm] ist die lineare Abbildung, die [mm]e_i[/mm] auf [mm]1[/mm]
> abbildet
>
> war mir so gar nicht klar!
>
> aber ich verstehe diese "punktweise" definition nicht
>
> >[mm]v^\star+w^\star[/mm] ist die lineare Abbildung [mm]V\to K[/mm] mit
> [mm]a\mapsto v^\star(a)+w^\star(a)[/mm]
>
> ich versuche es mal in Worte zu fassen:
>
> ein Vektor [mm]a\inV[/mm] wird auf K abgebildet v*(a)+w*(a) aber wie
> sind diese Funktionen definiert???
Erstmal gar nicht. [mm] $v^\star$ [/mm] und [mm] $w^\star$ [/mm] sind beliebige Elemente aus [mm] $V^\star$, [/mm] also lineare Abbildungen von $V$ nach $K$. Die Addition in [mm] $V^\star$ [/mm] ist definiert durch:
[mm] $(v^\star+w^\star)(x)=v^\star(x) [/mm] + [mm] w^\star(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] V$.
Dies nennt man, "punktweise Additition". Man kann nun nachrechnen, daß mit [mm] $v^\star$ [/mm] und [mm] $w^\star$ [/mm] auch [mm] $v^\star+w^\star$ [/mm] linear ist, also in [mm] $V^\star$ [/mm] liegt.
> aus der definition [mm]\delta_ij[/mm] weiss ich dass [mm]v_a*(a)[/mm] = 1
> ist und [mm]w_a*(a)=1[/mm] ist und in allen anderen fällen 0
> d.h. v*(a)+w*(a) = 2 ?
Nein. Die [mm] $\delta_{ij}$-Geschichte [/mm] nimmt man nur, um Basisvektoren [mm] $e^\star_i$ [/mm] zu definieren. So ist für [mm] $V=K^2$:
[/mm]
[mm] $e^\star_1\vektor {1\\ 0} [/mm] = 1$ [mm] (=$\delta_{11}$)
[/mm]
[mm] $e^\star_1\vektor {0\\ 1} [/mm] = 0$ [mm] (=$\delta_{12}$)
[/mm]
[mm] $e^\star_2\vektor {1\\ 0} [/mm] = 0$ [mm] (=$\delta_{21}$)
[/mm]
[mm] $e^\star_2\vektor {0\\ 1} [/mm] = 1$ [mm] (=$\delta_{22}$)
[/mm]
Damit sind durch die Bilder der Basisvektoren die beiden linearen Abbildungen [mm] $e^\star_1$ [/mm] und [mm] $e^\star_2$ [/mm] eindeutig festgelegt. Man kann jetzt zeigen, daß diese beiden Vektoren eine Basis von [mm] $V^\star$ [/mm] bilden.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mo 26.11.2012 | | Autor: | GerhardK |
[mm] $e^\star_1\vektor {1\\ 0} [/mm] = 1$ [mm] (=$\delta_{11}$) [/mm]
ist [mm] \vektor {1\\ 0} [/mm] standardmäßig als [mm] e_1 [/mm] definiert?
wodurch sind denn die beiden Abbildungen eindeutig festgelegt??
es wird immer einsichtiger ;) Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 26.11.2012 | | Autor: | GerhardK |
also ich meine e*1 ist doch nicht so eindeutig festgelegt wie
e*1= 1+2a/3b oder so ähnlich ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> also ich meine e*1 ist doch nicht so eindeutig festgelegt
> wie
>
> e*1= 1+2a/3b oder so ähnlich ..
doch, genauso eindeutig! Eben gerade wegen des Satzes gibt es genau eine lineare Abbildungen, die die Basisvektoren auf die gegebenen Werte abbildet.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> [mm]e^\star_1\vektor {1\\ 0} = 1[/mm] (=[mm]\delta_{11}[/mm])
>
> ist [mm]\vektor {1\\ 0}[/mm] standardmäßig als [mm]e_1[/mm] definiert?
Ja!
>
> wodurch sind denn die beiden Abbildungen eindeutig
> festgelegt??
Lineare Abbildungen sind bekanntlich durch die Bilder der Basisvektoren des Definitionsbereichs festgelegt.
(Dies ist ein Satz der LA)
> es wird immer einsichtiger ;) Vielen Dank!!
Freut mich!
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mo 26.11.2012 | | Autor: | GerhardK |
Vielen Vielen Dank Wolfgang!!!
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