Duale Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 03.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
jetzt begegnet mir zum wiederholten Male der Begriff der "dualen Basis."
Aber weder ein Buch noch das Skript helfen mir hier wirklich weiter. Zumal ich den Begriff in meinem Skript nur einmal in einem Beweis finde.
Ich habe jetzt einmal versucht, mir aus den wenigen Zeilen zu erschließen, wie denn die duale Basis nun zu bestimmen ist. Desweiteren verstehe ich den Sinn dahinter auch nicht ganz. Wozu braucht man die duale Basis, gibt es spezielle Aufgaben? Aber vielleicht könnt ihr mir erst einmal helfen, ob ich es richtig verstanden habe.
Ich habe mir jetzt einfach mal ein Beispiel genommen von dem ich denke, dass es in diesen Zusammenhang passt.
Es sei durch die Vektoren [mm] v_1=\vektor{2 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 3} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] gegeben.
Definiere [mm] A:=(v_1,v_2)=\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 3 }
[/mm]
Jetzt existiert [mm] B:=A^{-1}, [/mm] da A vollen Rang hat und somit invertierbar ist, mit [mm] B=\pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{6} \\ 0 & \bruch{1}{3} }.
[/mm]
Demnach [mm] B*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] daraus folgt [mm] (B*A)^t=A^t*B^t=E^t=E. [/mm] (transponiert)
Jetzt steht in dem Satz, in dem von der dualen Basis die Rede ist:
[mm] (B*A)^t=A^t*B^t=E^t=E
[/mm]
[mm] \Rightarrow B^t [/mm] ist invertierbar (klar, da [mm] A^t [/mm] Inverse zu [mm] B^t!)
[/mm]
[mm] \Rightarrow (b_1^t,...,b_n^t) [/mm] ist Basis von [mm] \IK^n, [/mm] die zu [mm] (a_1,...,a_n) [/mm] duale Basis.
Das hieße doch:
[mm] B^t=\pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ -\bruch{1}{6} & \bruch{1}{3} }=(b_1^t,b_2^t).
[/mm]
Also, [mm] b_1^t=\vektor{\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6}} [/mm] und [mm] b_2^t=\vektor{0 \\ \bruch{1}{3}} [/mm] ist die duale Basis zu [mm] v_1=\vektor{2 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 3}.
[/mm]
Ist das korrekt? Gibt es typische Aufgaben (außer: Berechnen sie die duale Basis zu ...  ) oder wurde das jetzt einfach nur für den Beweis (wir wollten zeigen, dass der Spaltenrang einer Matrix gleich dem Zeilenrang ist) benötigt; wäre das jedoch nur für diesen Beweis wichtig gewesen, dann hätte es doch sicher nicht einen eigenen Namen bekommen? Aber sonst kam es auch nicht vor - weder in der VL, noch auf Übungszetteln.
Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke.
MfG barsch
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Fr 03.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe mal eine große Suchmaschine nach der dualen Basis gefragt.
Und diese hat mich auf einen fast 4 Jahre alten Artikel von matheraum.de gebracht.
Ich denke, sofern ich diesen Artikel richtig verstanden habe, insbesondere die Rückfrage von Jenny85 und die darauf folgende Antwort von mjp, dass mein Vorgehen richtig ist.
Vielleicht kann es ja - zur Sicherheit - noch einmal jemand bestätigen. Auf jeden Fall: Vielen Dank.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
Hallo barsch,
> Hi,
>
> ich habe mal eine große Suchmaschine nach der dualen Basis
> gefragt.
> Und diese hat mich auf einen fast 4 Jahre alten Artikel
> von matheraum.de gebracht.
>
> Ich denke, sofern ich diesen
> Artikel richtig
> verstanden habe, insbesondere die Rückfrage von Jenny85 und
> die darauf folgende Antwort von mjp, dass mein Vorgehen
> richtig ist.
Ja, Dein Vorgehen ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielleicht kann es ja - zur Sicherheit - noch einmal jemand
> bestätigen. Auf jeden Fall: Vielen Dank.
>
> MfG barsch
Gruß
MathePower
|
|
|
|
