Duale Basen und Bilinearformen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zuerst brauchen wir etwas Notation. Im Folgenden seien
- V = [mm] \IR^{3} [/mm] und $u, v, w$ Vektoren aus V,
- [mm] e_{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] e_{y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] e_{z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] u_{0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und $v$ = [mm] v_{x}e_{x}+v_{y}e_{y}+v_{z}e_{z}
[/mm]
- dx:= [mm] e_{x}^{\*} [/mm] , dy:= [mm] e_{y}^{\*} [/mm] , dz:= [mm] e_{z}^{\*} [/mm] die duale Basis von [mm] V^{\*} [/mm] (die Linearform $dx$ liefert also die x-Komponente eines Vektors)
1) Übung: Berechnen Sie $(3dx - 2dy + [mm] dz)(u_{0})$ [/mm] und $(2dx + dy - [mm] dz)(5e_{x} [/mm] - [mm] 4e_{z})$.
[/mm]
Die Menge der Bilinearformen $W = [mm] \{w : V \times V \to \IR : w \mbox{ bilinear}\}$ [/mm] ist mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum.
Wir definieren den Untervektorraum der schiefsymmetrischen Bilinearformen
$ [mm] \wedge^{2} [/mm] = [mm] \{w \in W : w(v,w) = -w(w,v) \forall v,w \in V\}$.
[/mm]
.
.
Nun definieren wir eine bilineare Abb. [mm] $\wedge [/mm] : [mm] V^{\*} \times V^{\*} \to \wedge^{2} [/mm] : [mm] (f,g)\mapsto [/mm] f [mm] \wedge [/mm] g$
(Es ist also eine bilineare Abb. in den Vektorraum der schiefsym. Bilinearformen.) Es reicht die Bilinearformen $di [mm] \wedge [/mm] dj$ für $i,j [mm] \in [/mm] {x,y,z}$ anzugeben und diese wiederum sind durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig beschrieben.
Im Fall $i [mm] \not= [/mm] j$ sei $(di [mm] \wedge dj)(e_{i},e_{j})=-(di \wedge dj)(e_{i},e_{j})=1$ [/mm] und $(di [mm] \wedge dj)(e_{k},e_{l})=0$ [/mm] für [mm] $\{k,l\} \not= \{i,j\}$. [/mm] Im Fall $i=j$ sei $di [mm] \wedge [/mm] dj = 0 $.
Hausaufgabe:
a) Schreiben Sie $(dx [mm] \wedge [/mm] dy)(u,v)$ in den Komponenten [mm] $u_{x},u_{y},u_{z},v_{x},v_{y}$ [/mm] und [mm] $v_{z}$.
[/mm]
b) Berechnen Sie $(dx [mm] \wedge [/mm] dy - 3dz [mm] \wedge dx)(u_{o}, e{z}-e_{x})$
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass $di [mm] \wedge [/mm] dj = -dj [mm] \wedge [/mm] di $ für alle $i,j [mm] \in \{x,y,z\}$ [/mm] gilt.
d) Ist die Abb. [mm] \wedge [/mm] surjektiv?
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Oh man, das war ein Batzen...
ich hab du der 1) übung das hier:
es ist ja definiert dass: [mm] $e_{x}^{\*}(e_{x}) [/mm] = 1$ und [mm] $e_{y}^{\*}(e_{y}) [/mm] = 1$ und [mm] $e_{z}^{\*}(e_{z})=1$ [/mm] und sonst immer null.
daraus hab ich dann dass [mm] $e_{x}^{\*}=\pmat{ 1 & 0 & 0 }, e_{y}^{\*}=\pmat{ 0 & 1 & 0 }, e_{z}^{\*}=\pmat{ 0 & 0 & 1 }$
[/mm]
für dx eingesetzt hab ich dann: [mm] $(\pmat{ 3 & 0 & 0 }-\pmat{ 0 & 2 & 0 }+\pmat{ 0 & 0 & 1 })(u_{0}) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & -2 & 1 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = 2$
nach dem selben Prinzip hab ich beim 2ten die Lösung: 14
stimmt das so, oder hab ich da Mengen an Felhern rein gebaut?
Bei der Hausaufgabe hab ich das Problem, dass ich nicht weis, wie ich das [mm] \wedge [/mm] zu sehen habe. wie berechne ich $(dx [mm] \wedge [/mm] dy)$?
Will die Aufgabe echt gern gelöst haben, komm aber echt nicht weiter...
Bin für jeden Tipp dankbar :)
und danke dass ihr euch die Mühe gemacht habt, das zu lesen ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 12.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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