Dritte Wurzel aus -1? < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 So 05.11.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | | Ist [mm] \wurzel[3]{-1}=\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}*i [/mm] ? |
Hey,
ich kann die obige Aufgabe nicht lösen. :( Ich weiß, das dürfte für einige sehr einfach sein, aber ich weiß nicht, was ich mit dem linksseitigen Ausruck anfangen soll (heißt Wurzel(-1)=i^(2/3) oder i^(1/3) oder was anderes? :( ). Außerdem soll die Aufgabe nicht über die Exponentialform gelöst werden. Wobei ich sagen muss, dass ich die Exponentialform nicht kenne und ich von n-ten Wurzeln von komplexen Zahlen nicht viel weiß. Kann mir irgendwer einen Tipp geben oder einen Ansatz sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Soll das in [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR [/mm] gelöst werden?
In [mm] \IR [/mm] wäre [mm] \wurzel[3]{-1}=-1
[/mm]
In [mm] \IC [/mm]
[mm] \wurzel[3]{-1}=(-1)^{\bruch{1}{3}}=(-1)^{3^{-1}}
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 05.11.2006 | | Autor: | gore |
hi,
danke für die Antwort. Soll in [mm]\IC[/mm] gelöst werden.
hm, stimmt dann folgendes?
[mm] \wurzel[3]{-1}=(-1)^{\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] \Rightarrow -1=(\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}*i)^{3}[/mm]
[mm] \gdw ((\bruch{1}{4}-\bruch{3}{4})+(2*\bruch{\wurzel{3}}{4}*i))*(\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}*i)[/mm]
[mm] \gdw (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}*i)*(\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}*i)[/mm]
[mm] \gdw -1+(\bruch{\wurzel{3}}{4}*i)- (\bruch{\wurzel{3}}{4}*i)[/mm]
[mm] -1=-1[/mm]
das würde heißen, dass die Gleichung stimmt, ja? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 05.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo gore
[mm]
\begin{array}{l}
x=\sqrt[3]{-1} \\
x^3=-1 \\
x^3+1=0 \\
(x+1)(x^2-x+1)=0 \\
x_{1}=-1 \\
x_{2,3}=\bruch{1}{2}\left( 1\pm \wurzel{1-4}\right)
=\bruch{1}{2}\left( 1\pm \wurzel{3}i\right)
=\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}i\right)
\end{array}
[/mm]
Alles klar? 
Schöne Grüße,
galileo
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