Dreiseitige Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Deidi |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1/2/1), B(-1/5/2), C(-3/1/3) und St(1+2t/4+3t/2-5t) mit t E R gegeben.
a) Berechnen Sie alle Werte t, für die Punkte A,B,C und St nicht Eckpunkte einer Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche sind.
c) Der Punkt S1 ist die Spitze einer dreiseitigen Pyramide ABCS1. Weisen sie nach, dass der Höhenfußpunkt dieser Pyramide außerhalb der Grundfläche liegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe Probleme mit dem Aufgabenteil a), weil ich der Meinung bin, das nur keine Pyramide beschrieben wird, wenn alle Punkt in einer Ebene liegen. Welche Möglichkeiten gibt es diese Aufgabe zu lösen?
Auch mit dem Aufgabenteil c) habe ich schwirigkeiten, weil ich nicht verstehe wieso der Höhenfusspunkt außerhalb der Grundfläche liegen kann? Außerdem wie berechnet man den Höhenfusspunkt bei einer dreiseitigen Pyramide?
Vielen Dank schon mal im voraus!
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> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(1/2/1), B(-1/5/2), C(-3/1/3) und St(1+2t/4+3t/2-5t) mit t
> E R gegeben.
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> a) Berechnen Sie alle Werte t, für die Punkte A,B,C und St
> nicht Eckpunkte einer Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche
> sind.
> c) Der Punkt S1 ist die Spitze einer dreiseitigen Pyramide
> ABCS1. Weisen sie nach, dass der Höhenfußpunkt dieser
> Pyramide außerhalb der Grundfläche liegt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
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> Ich habe Probleme mit dem Aufgabenteil a), weil ich der
> Meinung bin, das nur keine Pyramide beschrieben wird, wenn
> alle Punkt in einer Ebene liegen. Welche Möglichkeiten gibt
> es diese Aufgabe zu lösen?
Meiner Meinung nach richtig. Die Punkte ABC liegen ja sowieso in einer Ebene und sollen auch die Grundfläche bilden. Daher kann es sich nur um eine Pyramide handeln, wenn die Spitze [mm] S_t [/mm] in irgendeiner Form über oder unter dieser Ebene liegt. Alleine, wenn [mm] S_t [/mm] auch in der Ebene [mm] E_{ABC} [/mm] liegt, ist eine Pyramide nicht gegeben. Daher stellst du [mm] E_{ABC} [/mm] auf und setzt [mm] S_t [/mm] ein. Dann kannst du ja für t Werte ausrechnen und violà, du hast deinen Punkt :)
> Auch mit dem Aufgabenteil c) habe ich schwirigkeiten, weil
> ich nicht verstehe wieso der Höhenfusspunkt außerhalb der
> Grundfläche liegen kann? Außerdem wie berechnet man den
> Höhenfusspunkt bei einer dreiseitigen Pyramide?
Wenn die Spitze nicht genau über der Grundseite liegt, ist die Pyramide eben sehr schief, möglich ist dies schon. Der Höhenfußpunkt ist ja nur das Lot, das von der Spitze senkrecht auf die Ebene der Grunseite geht.
Rechnerisch stellst du eine Gerade g auf, die durch S1 geht und senkrecht zur Grundfläche, also zur Ebene [mm] E_{ABC} [/mm] ist. Dann lässt du die Gerade mit der Ebene schneiden und bekommst Werte für die zwei Richtungsvektoren der Ebene raus. Mit diesen Werten kannst du dann vergleichen, ob der Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks ABC oder eben außerhalb liegt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Deidi |
Vielen Dank für deine Antwort, sie hat mir schon viel weiter geholfen.
Eins verstehe ich jedoch noch nicht ganz: Wie stelle ich jetzt fest, ob der Fusspunkt innerhalb oder außerhalb der Gründfläche liegt?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Du stellst eine Ebene für deine Grundfläche auf und setzt in diese nun deinen Lotpunkt ein.
Es ist ja klar, dass der Punkt in der Ebene liegt aber nun finden wir an Hand der Parameter heraus, ob er inner- oder außerhalb der Grundfläche liegt.
Die beiden Parameter der Ebene (du solltest sie in Parameterform haben) dürfen nun jeweils nicht größer als 1 und die Summe der beiden darf nicht größer als 1 sein; nur dann liegt der Punkt in deiner Ebene, die ein Dreieck beschreibt. Sonst liegt er außerhalb.
Lg
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