Dreifachintegral berechnen? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:58 Di 25.09.2012 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | Setze [mm] $B:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ; x,y,z\ge 0, x+y+z\le 1\}$
[/mm]
und berechne:
[mm] $\int_B [/mm] (x+2y+3z)d(x,y,z)$ |
Hallo,
das Integral oben würde ich gerne ausrechnen. Mein Problem ist, dass ich wegen der Integrationsdgrenzen die Variablen aus dem Integranden nicht "wegbekomme".
Mein erster versuch war, $x+y+z=1$ je nach einer Variable aufzulösen, so bekam ich $x=1-y-z$, $y=1-x-z$ und $z=1-x-y$ und
[mm] $\int^{1-x-y}_0\int^{1-x-z}_0\int^{1-y-z}_0(x+2y+3z)dxdydz$. [/mm] Wenn nun Stammfunktionen berechnet, verschwinden davon nicht die x,y,z (sie kommen ja in den Integrationsgrenzen vor). Wie könnte man dieses Integral berechnen?
lg,
flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Di 25.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo flo,
beachte für die Grenzen des äußersten Integral [mm] $0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Di 25.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Tut mir leid, aber ich weiß garnicht, was du damit meinst.
Das äußerste Integral ist [mm] $\int^{1-x-y}_0 [/mm] ... dz$ Dort soll jetzt x Werte zwischen 0 und 1 annehmen? Wie meinst du das?
lg
flo
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Hallo sqflo,
es ist nicht so kompliziert, wie Du denkst.
Du hattest geschrieben:
> Mein erster versuch war, $x+y+z=1$ je nach einer Variable aufzulösen,
> so bekam ich $x=1-y-z$, $y=1-x-z$ und $z=1-x-y$ und
> [mm] $\int^{1-x-y}_0\int^{1-x-z}_0\int^{1-y-z}_0(x+2y+3z)dxdydz$.
[/mm]
Was Wolfgang meint, ist folgendes.
Wenn die Integrationsreihenfolge so ist, wie Du sie hier angesetzt hast - erst dx, dann dy, dann dz, dann sind die Grenzen so:
Für das Integral dx: von 0 bis 1-y-z.
Danach hast Du eine Funktion nur in y und z.
Für das Integral dy: von 0 bis 1-z.
So bleiben die beiden Bedingungen erhalten.
Danach hast Du eine Funktion nur in z.
Schließlich das Integral dz: von 0 bis 1.
Fertig. Also ist zu berechnen
[mm] $\int^{1}_0\int^{1-z}_0\int^{1-y-z}_0(x+2y+3z)dxdydz$
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Di 25.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Ok, das lässt das Integral zumindest schonmal "einfacher" aussehen. Aber wieso darf/muss ich einfach die Variablen aus den grenzen des äußeren und mitleren Integrals rausnehmen? Wenn du mir erklären würdest, wieso ich so vorgehen würde, könnte ich bei einer anderen ähnlichen Aufgabe besser durchschauen, was ich zu tun habe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Di 25.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok, das lässt das Integral zumindest schonmal "einfacher"
> aussehen. Aber wieso darf/muss ich einfach die Variablen
> aus den grenzen des äußeren und mitleren Integrals
> rausnehmen? Wenn du mir erklären würdest, wieso ich so
> vorgehen würde, könnte ich bei einer anderen ähnlichen
> Aufgabe besser durchschauen, was ich zu tun habe....
Für die obere Grenze des äußeren Integrals mußt Du das größte z finden, für das es x und y gibt, so daß (x, y, z) in B liegt. Und dies ist 1.
Für die untere Grenze mußt Du das kleinste z finden, für das es x und y gibt, so daß (x, y, z) in B liegt. Und dies ist 0. Wir haben also die Grenzen 1 und 0.
Für das mittlere Integral verfährst Du genauso:
Für ein festes z ist das größte y, zu dem es ein x gibt, so daß (x, y, z) in B liegt, 1-z und das kleinste ist wieder 0. Wir haben also die Grenzen 1-z und 0.
Und jetzt das Ganze nochmal für das innerste Integral bei festem y und z. Was ist da das größte und kleinste x, so daß (x, y, z) in B liegt?
OK?
Grüße,
Wolfgang
PS: Dies kannst Du mal an Deinem ursprünglichem [mm] $B=\bigl\{(x, y, z)\colon x, y, z \ge 0, x + y + z = 1\bigl\}$ [/mm] ausprobieren. Du wirst sehen, daß das Dreifachintegral = 0 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 25.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Ok, für das innerste Integral habe geht nichts anderes mehr als untere Grenze ist 0 und obere Grenze ist 1-y-z (x,y sind ja schon fest gegeben), denn $x+y+z+z=(1-y-z)+x+y=1$, und größer kann man x nicht wählen.
was jetzt meinen Tippfehler und die daraus resultierende Nullmenge angeht:
mit deiner vorgehensweise bekomme ich folgedes:
für das äußerste integral wähle ich z maximal (z=1) und damit x+y+z=1 erfüllt ist, muss x=y=0 gelten.
im mitleren integral steht dann für fest gegebenes z:
[mm] $\int^{1-x-z}_0 [/mm] ... [mm] dy=\int^0_0...dy$ [/mm] da durch das erste Integral ja schon feststeht, dass x=0 und z=1 damit wird von 0 bis 0 integriert und das Ergebnis davon ist 0.
Ist das soweit richtig?
lg
flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 25.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok, für das innerste Integral habe geht nichts anderes
> mehr als untere Grenze ist 0 und obere Grenze ist 1-y-z
> (x,y sind ja schon fest gegeben), denn
> [mm]x+y+z+z=(1-y-z)+x+y=1[/mm], und größer kann man x nicht
> wählen.
>
> was jetzt meinen Tippfehler und die daraus resultierende
> Nullmenge angeht:
> mit deiner vorgehensweise bekomme ich folgedes:
>
> für das äußerste integral wähle ich z maximal (z=1) und
> damit x+y+z=1 erfüllt ist, muss x=y=0 gelten.
Und das minimale z ist 0. z. B. für x=y=1/2.
>
> im mitleren integral steht dann für fest gegebenes z:
>
> [mm]\int^{1-x-z}_0 ... dy=\int^0_0...dy[/mm] da durch das erste
> Integral ja schon feststeht, dass x=0 und z=1 damit wird
> von 0 bis 0 integriert und das Ergebnis davon ist 0.
Nein. z variiert nachwievor zwischen 0 und 1 und für diese z variiert y zwischen 0 und 1-z. Also ganz so, wie bei von Dir korrigierten Version der Aufgabe.
Aber für das innerste Integral wird es eng. Das maximale x ist 1-z-y und das minimale x ist ebenfalls 1-z-y. Damit ist das innerste Integral 0. Hieraus folgt, daß das mittlere Integral ebenfalls 0 ist, weil dessen Integrand, das innerste Integral, konstant 0 ist. Ebenso folgt, daß das äußere Integral und damit das Dreifachintegral 0 ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Di 25.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Setze [mm]B:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ; x,y,z\ge 0, x+y+z=1\}[/mm]
>
> und berechne:
>
> [mm]\int_B (x+2y+3z)d(x,y,z)[/mm]
Hast Du die Menge B wirklich richtig abgeschrieben ? Wenn ja, so ist
[mm]\int_B (x+2y+3z)d(x,y,z)=0[/mm], denn B ist eine Nullmenge !
Ich vermute, es soll lauten: [mm][mm] B:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ; x,y,z\ge 0, x+y+z \le 1\}
[/mm]
FRED
> Hallo,
>
> das Integral oben würde ich gerne ausrechnen. Mein Problem
> ist, dass ich wegen der Integrationsdgrenzen die Variablen
> aus dem Integranden nicht "wegbekomme".
>
> Mein erster versuch war, [mm]x+y+z=1[/mm] je nach einer Variable
> aufzulösen, so bekam ich [mm]x=1-y-z[/mm], [mm]y=1-x-z[/mm] und [mm]z=1-x-y[/mm] und
>
> [mm]\int^{1-x-y}_0\int^{1-x-z}_0\int^{1-y-z}_0(x+2y+3z)dxdydz[/mm].
> Wenn nun Stammfunktionen berechnet, verschwinden davon
> nicht die x,y,z (sie kommen ja in den Integrationsgrenzen
> vor). Wie könnte man dieses Integral berechnen?
>
>
> lg,
> flo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Di 25.09.2012 | | Autor: | sqflo |
Ups sorry.. Ja, es musst [mm] "$\le [/mm] 1$" anstatt "$=1$" heißen. Werde es korrigieren. Aber jetzt stellt sich mir noch eine Frage, woran hast du erkannt, dass es für [mm] "$\le$" [/mm] eine Nullmenge ist?
Trotzdem des [mm] "$\le [/mm] 1$" komme ich bei diesem Integral nicht weiter.
lg
flo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 25.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ups sorry.. Ja, es musst "[mm]\le 1[/mm]" anstatt "[mm]=1[/mm]" heißen.
> Werde es korrigieren. Aber jetzt stellt sich mir noch eine
> Frage, woran hast du erkannt, dass es für "[mm]\le[/mm]" eine
> Nullmenge ist?
Mit [mm] \le [/mm] ist das keine Nullmenge !
>
> Trotzdem des "[mm]\le 1[/mm]" komme ich bei diesem Integral nicht
> weiter.
Wolfgang hat Dir doch gesagt, wie Du es machen mußt
FRED
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> lg
> flo
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