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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mo 24.09.2007 | | Autor: | chriss_H |
Hallo zusammen ich habe vollgende Aufgabe:
Durch eine Kugel vom Radius R sei in der Mitte eine zylinderförmige Öffnung mit dem Radius r=R/2 herausgebohrt (siehe Bild)
Berechnen Sie das Volumen der Bohrung.
Hinweis: Die Gleichung der Kugeloberfläche in Zylinderkoordinaten heisst: [mm] r^2+z^2=R^2 [/mm]
hier eine zeichnung dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Oke also Ich habe ja dann auf jedenfall ein Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten und ich wüsste gerne ob ich das richtig aufgestellt habe.
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{4r}\integral_{0}^{\wurzel{3}*r}{r \ dz \ dr \ d\varphi}
[/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/153422,0.html
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo zusammen ich habe vollgende Aufgabe:
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> Durch eine Kugel vom Radius R sei in der Mitte eine
> zylinderförmige Öffnung mit dem Radius r=R/2 herausgebohrt
> (siehe Bild)
> Berechnen Sie das Volumen der Bohrung.
> Hinweis: Die Gleichung der Kugeloberfläche in
> Zylinderkoordinaten heisst: [mm]r^2+z^2=R^2[/mm]
>
> hier eine zeichnung dazu:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich nehme an, die $z$-Achse ist die Achse der Bohrung.
>
> Oke also Ich habe ja dann auf jedenfall ein
> Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten und ich wüsste
> gerne ob ich das richtig aufgestellt habe.
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{4\red{r}}\integral_{0}^{\wurzel{3}\cdot r} {r \ dz \ d\red{r} \ d\varphi}[/mm]
Scheint mir nicht plausibel: Die obere Grenze des Integrals, dessen Integrationsvariable $r$ ist, enthält $r$ selbst - und wie Du auf die Grenzen $0$ und [mm] $\sqrt{3}r$ [/mm] des inneren Integrals nach $dz$ gekommen bist, ist mir auch ein Rätsel...
Wie wärs stattdessen mit folgendem Vorschlag
[mm]V=\int_0^{2\pi}\int_0^{R/2} \int_{-\sqrt{R^2-r^2}}^{+\sqrt{R^2-r^2}}\;dz\; r\; dr\; d\varphi[/mm]
Die Grenzen des Integrals nach $dz$ ergeben sich direkt durch Auflösen von [mm] $r^2+z^2=R^2$ [/mm] nach $z$.
Nachtrag (1. Revision): auf http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/153422,0.html
lese ich, dass Du folgendermassen überlegt hast: "Das dritte Integral von 0 bis sqrt(3)*r, da [mm] z^2=R^2-r^2 [/mm] => [mm] z^2=(2r)^2-r^2 [/mm] => [mm] sqrt(3r^2)= [/mm] r*sqrt(3)".
Diese Überlegung ist im allgemeinen falsch, weil $r$, ausser bei der oberen Grenze des [mm] $\int_0^{R/2}\ldots \; [/mm] dr$, nicht gleich $R/2$ ist.
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