Dreiecksungleichung einer Norm < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 02.05.2009 | | Autor: | cipoint |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:[0,\infty) \to [0,\infty) [/mm] stetig differenzierbar und monoton wachsend. Die Ableitung f' sei monoton fallend. Es gelte f(0)=0 und f(x)>0 für alle x>0. Zeigen Sie, dass d(x,y):=f(|x-y|) eine Metrik ist. |
Ich schaffe es nicht, die Dreiecksungleichung [mm]f(|x-z|)\le f(|x-y|)+f(|y-z|)[/mm] zu zeigen. Mit der Definition
[mm]a:=|x-z|, b:=|x-y|, c:=|y-z|[/mm]
ist zu zeigen: [mm]f(a)\le f(b)+f(c) \ \ \forall a\le b+c[/mm].
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=1842484&sid=5ee3e6748132af6223e66a2abea824fe#1842484
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke die Dreiecksungleichung folgt aus der Eigenschaft, das f monoton wachsend ist.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Sa 02.05.2009 | | Autor: | cipoint |
Ja, das ist richtig. Die Monotonie ist eine Voraussetzung dafür. Mann kann leich ein Gegenbeispiel finden, also eine nicht monoton steigende Funktion. Dann gibt es bestimmte Zahlen, die eingesetzt in die Dreiecksungleichung eine falsche Aussage liefern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
Deine Antwort habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ist es jetzt klar, dass die Dreiecksungleichung aus der Monotonie folgt oder nicht?
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo ullim,
> Deine Antwort habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ist es
> jetzt klar, dass die Dreiecksungleichung aus der Monotonie
> folgt oder nicht?
nein, die reicht nicht aus. Du brauchst dass $f'$ monoton fallend ist.
Betrachte z.B. $f(x) := [mm] x^2$. [/mm] Dann ist $f$ offenbar streng monoton steigend mit $f(0) = 0$, allerdings gilt $2 [mm] \le [/mm] 1 + 1$, aber $4 = f(2) > f(1) + f(1) = 2$.
Die Forderung, dass $f'$ monoton fallend ist, erzwingt dass die Funktion hoechstens linear anwaechst. Das ist hier der springende Punkt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Sa 02.05.2009 | | Autor: | cipoint |
> Hallo ullim,
>
> > Deine Antwort habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ist es
> > jetzt klar, dass die Dreiecksungleichung aus der Monotonie
> > folgt oder nicht?
>
> nein, die reicht nicht aus. Du brauchst dass [mm]f'[/mm] monoton
> fallend ist.
>
> Betrachte z.B. [mm]f(x) := x^2[/mm]. Dann ist [mm]f[/mm] offenbar streng
> monoton steigend mit [mm]f(0) = 0[/mm], allerdings gilt [mm]2 \le 1 + 1[/mm],
> aber [mm]4 = f(2) > f(1) + f(1) = 2[/mm].
>
> Die Forderung, dass [mm]f'[/mm] monoton fallend ist, erzwingt dass
> die Funktion hoechstens linear anwaechst. Das ist hier der
> springende Punkt.
>
> LG Felix
>
Ähm ja, f' monoton fallend habe ich stillschweigend vorausgesetzt, da ich schon zwei Tage an der Aufgabe sitze und die Voraussetzung für mich selbstverständlich geworden ist. ;)
Ich glaube einen Beweis gefunden zu haben. Werde morgen überprüfen ob er stimmt und dann hier posten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 So 03.05.2009 | | Autor: | cipoint |
Wenn ich es schaffe, zu zeigen
f(b+c) [mm] \le [/mm] f(b)+f(c),
dann bin ich fertig. Denn dann gilt
f(a) [mm] \le [/mm] f(b+c) [mm] \le [/mm] f(b)+f(c).
Ich habe das so gemacht:
Aus den Tangentengleichungen
[mm] t_z(x+y)=f'(z)(x+y-z)+f(z)
[/mm]
und
[mm] t_z(x)+t_z(y)=f'(z)(x-z)+f(z)+f'(z)(y-z)+f(z)
[/mm]
folgt
[mm] f_z(x+y)-zf'(z)+f(z)=t_z(x)+t_z(y).
[/mm]
Aus dem MWS folgt, dass -zf'(z)+f(z) [mm] \ge [/mm] 0 und damit
[mm] t_z(x+y) \le t_z(x)+t_z(y).
[/mm]
Da f wegen f' monoton fallend höchstens linear ansteigt, gilt [mm] t_z(x)> \le [/mm] f(x).
Damit wollte ich folgendes machen:
[mm]f(x+y) \le t_x(x+y) \le t_x(x)+t_x(y)=f(x)+t_x(y) \le f(x)+f(y)[/mm].
Leider stimmt die letzte Ungleichung nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 03.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wenn ich es schaffe, zu zeigen
> f(b+c) [mm]\le[/mm] f(b)+f(c),
> dann bin ich fertig. Denn dann gilt
> f(a) [mm]\le[/mm] f(b+c) [mm]\le[/mm] f(b)+f(c).
Genau.
Ich wuerde das so machen:
Es gilt ja $f(a) = [mm] \int_0^a [/mm] f'(x) dx$, $f(b) = [mm] \int_0^b [/mm] f'(x) dx$ und $f(a + b) = [mm] \int_0^{a+b} [/mm] f'(x) dx = f(a) + [mm] \int_a^{a+b} [/mm] f'(x) dx$. Es reicht also zu zeigen, dass [mm] $\int_a^{a+b} [/mm] f'(x) dx [mm] \le \int_0^b [/mm] f'(x) dx$ gilt. Nun ist [mm] $\int_a^{a+b} [/mm] f'(x) dx = [mm] \int_0^b [/mm] f'(x + a) dx$, womit es reicht zu zeigen, dass $f'(x + a) [mm] \le [/mm] f'(x)$ gilt. Aaaaber...
LG Felix
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