Dreiecksungleichung - Cauchy < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 25.01.2013 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | [mm] \sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}
[/mm]
Ist äquivalent zu:
[mm] (a,b)^2 \le a^2b^2
[/mm]
a und b sind aus einem euklidischen Raum. Wobei (a,b) das innere Produkt ist, sprich [mm] (a,b)=a_1b_2+a_2b_2+...+a_nb_n [/mm] |
Hallo Leute,
bei uns im Skipt wird die Dreiecksungleichung für eine Metrik, den Abstand zwischen zwei Punkten mit der Cauchy-Schwarzungleichung bewiesen.
Ich verstehe aber nicht, warum diese beiden Gleichungen äquivalent sein sollen, wo ist das "+" aus der Dreiecksungleichung hin?
Könnte mir das jemand mal vorführen, woher die Äquivalenz kommt, bin am verzweifeln...
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Fr 25.01.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}[/mm]
>
> Ist äquivalent zu:
>
> [mm](a,b)^2 \le a^2b^2[/mm]
>
> a und b sind aus einem euklidischen Raum. Wobei (a,b) das
> innere Produkt ist, sprich [mm](a,b)=a_1b_2+a_2b_2+...+a_nb_n[/mm]
> Hallo Leute,
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> bei uns im Skipt wird die Dreiecksungleichung für eine
> Metrik, den Abstand zwischen zwei Punkten mit der
> Cauchy-Schwarzungleichung bewiesen.
>
> Ich verstehe aber nicht, warum diese beiden Gleichungen
> äquivalent sein sollen, wo ist das "+" aus der
> Dreiecksungleichung hin?
>
> Könnte mir das jemand mal vorführen, woher die
> Äquivalenz kommt, bin am verzweifeln...
>
> Danke schonmal!
Hallo AntonK,
ich kann dir leider nicht konkret antworten.
Aber auf die Frage "Wohin ist das "+" verschwunden?"
würde ich so rein logisch mit der Gegenfrage
"Welche Bedeutung hat das neu erschienene Komma?"
antworten. Ich weiß es nicht. Was sagt dein Vorlesungsskript?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Aber auf die Frage "Wohin ist das "+" verschwunden?" würde ich so rein logisch mit der Gegenfrage "Welche Bedeutung hat das neu erschienene Komma?" antworten.
*hüstel* *hüstel*
> > a und b sind aus einem euklidischen Raum. Wobei (a,b) das innere Produkt ist, sprich [mm](a,b)=a_1b_2+a_2b_2+...+a_nb_n[/mm]
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Hiho,
das ist wirklich einfaches Einsetzen der Definition des inneren Produkts, aber erstmal vorweg gilt ja durch quadrieren:
$ [mm] \sqrt{(a+b)^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \quad\gdw\quad (a+b)^2 \le a^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{a^2b^2} [/mm] + [mm] b^2$
[/mm]
Fangen wir jetzt mal links an:
[mm] $(a+b)^2 [/mm] = (a+b,a+b) = (a,a) + (a,b) + (b,a) + (b,b) = [mm] a^2 [/mm] + 2(a,b) + [mm] b^2$
[/mm]
Einsetzen oben liefert also:
[mm] $\gdw a^2 [/mm] + 2(a,b) + [mm] b^2 \le a^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{a^2b^2} [/mm] + [mm] b^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (a,b) [mm] \le \sqrt{a^2b^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw (a,b)^2 \le a^2b^2$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Sa 26.01.2013 | | Autor: | AntonK |
Danke euch, sehe ich ein!
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