Dreiecksungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Hallo,
ich wiederhole gerade und versuche die Dreiecksungleichung nachvollziehen zu können.
Als ich den Übungszettel lösen musste, hab ich einfach mal geglaubt was mir Wikipedia über die Dreiecksungleichung mit reellen Zahlen sagt aber nachvollziehen konnte ich den Beweis nicht: [mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_f.C3.BCr_reelle_Zahlen
[/mm]
Wie kommt man von |a + b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| auf [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 \le a^2 [/mm] + 2|ab| + [mm] b^2 [/mm] ?
Das man bei |a| = [mm] a^2 [/mm] schreibt kann ich verstehen weil a=-x und +x sein kann aber wie kommt man auf 2ab und/oder 2|ab|?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Hero991
> Hallo,
> ich wiederhole gerade und versuche die Dreiecksungleichung
> nachvollziehen zu können.
> Als ich den Übungszettel lösen musste, hab ich einfach
> mal geglaubt was mir Wikipedia über die
> Dreiecksungleichung mit reellen Zahlen sagt aber
> nachvollziehen konnte ich den Beweis nicht:
> [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_f.C3.BCr_reelle_Zahlen[/mm]
>
> Wie kommt man von |a + b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| auf [mm]a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2 \le a^2[/mm]
> + 2|ab| + [mm]b^2[/mm] ?
>
> Das man bei |a| = [mm]a^2[/mm] schreibt kann ich verstehen weil a=-x
> und +x sein kann aber wie kommt man auf 2ab und/oder
> 2|ab|?
Wie auf der Wiki-Seite beschrieben, wird einfach quadriert. Es ist [mm](|a+b|)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/mm] und [mm](|a|+|b|)^2=|a|^2+2|a||b|+|b|^2=a^2+2|ab|+b^2[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
uuuoh Okay, danke. Ich dachte da steckt was größeres hinter.
x [mm] \le [/mm] |x| weil [mm] |x|=x^2, [/mm] oder? Weil x positiv und negativ sein kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Fulla |
> uuuoh Okay, danke. Ich dachte da steckt was größeres
> hinter.
>
> x [mm]\le[/mm] |x| weil [mm]|x|=x^2,[/mm] oder? Weil x positiv und negativ
> sein kann.
Im Allgemeinen ist [mm]|x|\neq x^2[/mm].
[mm]x\le |x|[/mm] gilt, denn für [mm]x\ge 0[/mm] ist [mm]|x|=x[/mm] und für [mm]x<0[/mm] ist [mm]|x|>x[/mm].
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