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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 So 24.04.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich hab noch eine Aufgabe:
|a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| [mm] \Rightarrow [/mm] ||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b|.
Also ich hab die Ausgangsformel genommen. für a = a - b eingesetzt.
Also |a-b+b| [mm] \le [/mm] |a-b| + |b| umgestellt zu |a|-|b| [mm] \le [/mm] |a-b|.
Aber wie bekommt man jetzt den betrag um |a|-|b| ???
Hab gelesen durch vertauschen von a und b, aber das versteh ich nicht so richtig...
Danke schonmal im Vorraus.
mfg
Thomas
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Hi, Thomas,
> |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| [mm]\Rightarrow[/mm] ||a|-|b|| [mm]\le[/mm] |a-b|.
>
> Also ich hab die Ausgangsformel genommen. für a = a - b
> eingesetzt.
>
> Also |a-b+b| [mm]\le[/mm] |a-b| + |b| umgestellt zu |a|-|b| [mm]\le[/mm]
> |a-b|.
>
Für b > a ist die linke Seite Deiner Ungleichung negativ, das heißt: Die Ungleichung ist trivial. Also: Deine Umformung ist nur für a > b wirklich "interessant".
Für a < b ersetzt Du analog b durch b-a und erhältst:
|b| [mm] \le [/mm] |a| + |b-a| (wobei logischerweise |b-a| = |a-b|)
und daraus: |b| - |a| [mm] \le [/mm] |a - b|.
Nun könnstest Du natürlich stehen lassen:
Für a > b gilt: |a| - |b| [mm] \le [/mm] |a - b|
für a < b gilt: |b| - |a| [mm] \le [/mm] |a - b|
Du kannst aber auch beides zusammenfassen zu:
||a| - |b|| [mm] \le [/mm] |a - b|
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