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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Do 01.11.2007 | | Autor: | setu2007 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für z1, z2 [mm] \in \IC [/mm] die Dreiecksungleichung
|z1 + z2| [mm] \le [/mm] | z1 | + | z2 |
gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Ich habe diese Gleichung gelöst. Jedoch bin ich mir noch unsicher ob sie richtig ist. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
z1 [mm] \le [/mm] |z1| - z1 [mm] \le [/mm] |z1|
z2 [mm] \le [/mm] |z2| - z2 [mm] \le [/mm] |z2|
z1 + z2 [mm] \le [/mm] |z1| + |z2| - (z1 + z2) [mm] \le [/mm] |z1| + |z2|
daraus folgt: |z1 + z2| [mm] \le [/mm] | z1 | + | z2 |
Anschließend habe ich dann für z= a + ib eigesetzt.
Ist die Rechnung richtig???
Wäre dankbar für eine Antwort...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen sie, dass für z1, z2 [mm]\in \IC[/mm] die
> Dreiecksungleichung
> |z1 + z2| [mm]\le[/mm] | z1 | + | z2 |
> gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi,
>
> Ich habe diese Gleichung gelöst. Jedoch bin ich mir noch
> unsicher ob sie richtig ist. Ich bin folgendermaßen
> vorgegangen:
>
> z1 [mm]\le[/mm] |z1| - z1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du kannst komplexe Zahlen nicht mittels [mm]\le[/mm] vergleichen, die lassen sich nicht anordnen. Da kannst ja auch bei Punkten in der Ebene nicht sagen, dass einer größer ist als der andere.
Aber probier doch mal, das Quadrat [mm]|z_1+z_2|^2[/mm] auszurechnen:
[mm]|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)\cdot\overline{(z_1+z_2)} = (z_1+z_2)\cdot(\overline{z}_1+\overline{z}_2) = \dots[/mm]
Oder, wenn es dir lieber ist, rechne mit [mm]z_1=a_1+ib_1[/mm] und [mm]z_2=a_2+ib_2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Fr 02.11.2007 | | Autor: | setu2007 |
Leider habe ich nicht verstanden, warum ich |z1+z2| zum quadrat nehmen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Fr 02.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Leider habe ich nicht verstanden, warum ich |z1+z2| zum
> quadrat nehmen soll?
Das ist leicher zu rechnen als ohne das Quadrat, ergibt aber dasselbe Ergebnis: du musst dann [mm]|z_{1}+z_{2}|^{2}[/mm] mit [mm](|z_1|+|z_2|)^2 = |z_1|^2+|z_2|^2 +2 |z_1|*|z_2| = |z_1|^2+|z_2|^2 +2 |z_1*z_2|[/mm] vergleichen. Da sowohl [mm]|z_{1}+z_{2}|\ge0[/mm] als auch [mm]|z_{1}|+|z_{2}|\ge 0[/mm] ist, folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Fr 02.11.2007 | | Autor: | setu2007 |
Vieln Dank Rainer!
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