Dreiecksungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 19.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Sei [mm] (V,\parallel.\parallel) [/mm] ein normierter Raum. Beweisen sie für alle a,b [mm] \in [/mm] V die folgende Ungleichung:
[mm] \parallel a-b\parallel [/mm] >= [mm] |\parallel a\parallel [/mm] - [mm] \parallel b\parallel [/mm] | |
Hallo Leute,
bei solchen Aufgaben mit der Dreiecksungleichung stehe ich immer total auf dem Schlauch. Wenn mir jemand anhand dieser Aufgabe mal erklären könnte wie man sowas angeht wäre ich sehr froh darüber. Mit geht es hauptsächlich darum wie man diese Dreiecksungleichungen beweisen kann.
MfG
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> Sei [mm](V,\parallel.\parallel)[/mm] ein normierter Raum. Beweisen
> sie für alle a,b [mm]\in[/mm] V die folgende Ungleichung:
> [mm]\parallel a-b\parallel[/mm] >= [mm]|\parallel a\parallel[/mm] -
> [mm]\parallel b\parallel[/mm] |
Hallo,
berechne
[mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel a-b+b\parallel \le...
[/mm]
und
[mm] \parallel [/mm] b [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel b-a+a\parallel \le...,
[/mm]
bedenke, daß [mm] \parallel [/mm] c [mm] \parallel=\parallel [/mm] -c [mm] \parallel, [/mm] und forme die beiden Ungleichungen passend um, so daß Du schließlich [mm] \parallel a-b\parallel [/mm] von beiden Seiten "einkesseln" kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 19.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Hier mein Vorschlag:
[mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel a-b+b\parallel \le \parallel a\parallel -\parallel b\parallel +\parallel b\parallel
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] b [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel b-a+a\parallel \le \parallel b\parallel -\parallel a\parallel +\parallel a\parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel a\parallel -\parallel b\parallel [/mm] = [mm] \parallel a-b+b\parallel -\parallel b-a+a\parallel =\parallel a-b\parallel
[/mm]
Was anderes fällt mir dazu leider nicht ein.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Do 19.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]\Rightarrow \parallel a\parallel -\parallel b\parallel[/mm] =
> [mm]\parallel a-b+b\parallel -\parallel b-a+a\parallel =\parallel a-b\parallel[/mm]
Das kann wohl nicht stimmen, oder?
|a|=|a-b+b|=|(a-b)+b| [mm] \le [/mm] |a-b|+|b|
Analog ist
|b| [mm] \le [/mm] |b-a|+|a|=|a-b|+|a|
Jetzt passend kombinieren. Und a>b, a>-b => a>|b| benutzen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Do 19.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
So wie ich das verstanden habe müsste es so lauten:
[mm] \parallel a\parallel \le \parallel a-b\parallel +\parallel b\parallel [/mm] dann dieses b mit dem der 2. Ungleichung ersetzen, also [mm] \parallel a\parallel \le \parallel a-b\parallel +\parallel a-b\parallel +\parallel a\parallel [/mm] und zuletzt davon die 2. Ungleichung abziehen. Liege ich richtig oder total falsch ?
MfG
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> So wie ich das verstanden habe müsste es so lauten:
> [mm]\parallel a\parallel \le \parallel a-b\parallel +\parallel b\parallel[/mm]
> dann dieses b mit dem der 2. Ungleichung ersetzen, also
> [mm]\parallel a\parallel \le \parallel a-b\parallel +\parallel a-b\parallel +\parallel a\parallel[/mm]
Hallo,
der Informationswert dieser Operation ist doch wirklich äußerst gering:
> [mm]\parallel a\parallel \le \parallel a-b\parallel +\parallel a-b\parallel +\parallel a\parallel[/mm]
<==> [mm] 0\le [/mm] 2* [mm] \parallel a-b\parallel [/mm]
> und zuletzt davon die 2. Ungleichung abziehen. Liege ich
> richtig oder total falsch ?
Das könntest Du selbst gut entscheiden, wenn Du die Maßnahme durchführen und das vor Dir liegende Ergebnis anschauen würdest...
Lös' dormants beide Gleichungen mal nach [mm] \parallel a-b\parallel [/mm] auf.
Bevor Du dann "irgendwas" tust, informiere Dich, was es bedeutet, wenn irgendwo steht |x|<y.
Mach Dir das Ziel bewußt: $ [mm] |\parallel a\parallel [/mm] $ - $ [mm] \parallel b\parallel [/mm] $ [mm] |\le [/mm] $ [mm] \parallel a-b\parallel [/mm] $ >, und forme Deine beiden Gleichungen zielgerichtet um.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 20.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Hallo, also wenn ich die Gleihungen umforme komme ich auf folgendes:
[mm] \parallel a\parallel [/mm] - [mm] \parallel b\parallel \le \parallel a-b\parallel [/mm] sowie [mm] \parallel b\parallel [/mm] - [mm] \parallel a\parallel \le \parallel a-b\parallel [/mm] und da laut Aufgabenstellung der linke Term beider Gleichungen in Betragsstrichen steht kann ich ja das a und b vertauschen und habe somit zweimal die gleiche Gleichung. Jetzt müsste es passen oder ?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Fr 20.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja, jetzt passt es. Nur die Begründung zum Schluss ist nicht sehr überzeugend. Wie gesagt folgt aus a<b und -a<b, dass |a|<b. Du musst nur beachten, dass |a|-|b|=-(|b|-|a|).
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 20.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke für eure ausführliche Hilfe, denke das ich es soweit einigermaßen verstanden habe, aber wie sieht das Ganze denn in anderen Fällen aus, also z.b. |a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| oder |a*b| = |a|*|b| ? Ich vermute mal |a| = |a+b-b| [mm] \le [/mm] |a+b| - |b| sowie |b| = |b+a-a| [mm] \le [/mm] |b+a| - |a| und bei der Multiplikation sowas wie |a| = [mm] |a*b*b^{-1}| [/mm] = |a*b| * [mm] |b^{-1}| [/mm] und |b| = [mm] |b*a*a^{-1}| [/mm] = |b*a| * [mm] |a^{-1}|
[/mm]
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> aber wie sieht das Ganze denn
> in anderen Fällen aus, also z.b. |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| oder
> |a*b| = |a|*|b| ?
Hallo,
Du verwirrst mich jetzt etwas: sollen Deine a,b reelle Zahlen sein und |.| die Betragsfunktion?
Denn Deine Ursprungsaufgabe war ja allgemeiner: da waren a,b aus irgendeinem Vektorraum und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] eine Norm auf diesem Vektorraum.
Wenn Du oben tatsächlich reelle zahlen mit der Betragsfunktion meinst, ist die Sache recht einfach, Du kannst sie wahrscheinlich in jedem Analysis I - Buch nachlesen:
Zu zeigen: |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| für alle reellen Zahlen a,b
[mm] a\le [/mm] |a| und [mm] b\le|b| [/mm] ==> a+b [mm] \le [/mm] |a| + |b|
[mm] -a\le [/mm] |a| [mm] -b\le|b| [/mm] ==> -(a+b) [mm] \le [/mm] |a| + |b| ==> a+b [mm] \le [/mm] -( |a| + |b|)
Aus beiden Ungleichunge folgt sofort die Behauptung.
Zu zeigen:|a*b| = |a|*|b|
Hier untersuchst Du die vier Falle, die vorkommen können
1. [mm] a\ge [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0
2. [mm] a\ge [/mm] 0, [mm] b\le [/mm] 0
3. [mm] a\le [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0
4 [mm] a\le [/mm] 0, [mm] b\le [/mm] 0
Soviel hierzu.
Meinst Du allerdings das ganze für [mm] a,b\in [/mm] V und eine Norm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] auf V, so sieht die Sache anders aus.
1. Die Dreiecksungleichung gilt aufgrund der Definition von [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel.
[/mm]
2. Bei [mm] \parallel [/mm] a*b [mm] \parallel [/mm] wäre erstmal zu klären, welche Verknüpfung * hier gemeint sein soll. Denn in einem Vektorraum haben wir zunächst ja nur die Multiplikation mit Skalaren und die Addition zur Verfügung.
3. Meinst Du vielleicht [mm] \parallel [/mm] r*b [mm] \parallel =|r|\parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] mit [mm] a\in [/mm] V und [mm] r\in \IR?
[/mm]
Das wiederum ist Bestandteil der Definition der Norm.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 20.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Sorry das ich meine Frage nicht präzise genug formuliert habe, aber ich habe die reellen Zahlen gemeint. Da gabs wohl ein kleines Kommunikationsproblem meinerseits, wird nie wieder vorkommen  Möchte mich aber trotzdem für eure große Hilfe hier sehr bedanken. Ohne euch wäre ich total aufgeschmissen, vor allem regen eure Beiträge hier dazu auf sich intensiv mit der Sache zu beschäftigen und nicht nur Lösungen abzulesen
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