Dreiecksmatrizen und der K^n < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Do 14.05.2015 | | Autor: | Aenne |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, T der Unterring der oberen Dreiecksmatrizen in Mat(nxn, K) und [mm] T^{+} [/mm] die Teilmenge der echten oberen Dreiecksmatrizen.
Zeigen Sie:
a) [mm] T^{+} [/mm] ist ein Ideal
b) T / [mm] T^{+} [/mm] ist isomorph (als Ring) zu [mm] K^{n} [/mm] |
Guten Tag,
ich beschäftige mich momentan mit der oben stehenden Aufgabe und muss leider sagen, dass ich mich damit etwas überfordert fühle, da neue Begriffe wie Ideale, Homomorphiesatz und Hauptidealringe mir doch noch sehr kryptisch erscheinen.
Die Teilaufgabe a) konnte ich (so hoffe ich zumindest) ohne Probleme lösen.
Etwas mehr Probleme habe ich bei Aufgabe b)
___________________________________________________________________
Ich betrachte hier die Restklasse
T / [mm] T^{+} [/mm] .
Hier fängt es leider schon an:
Ich kann mir hierunter recht wenig vorstellen. Orientiere ich mich mal an der Restklasse
[mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ
[/mm]
so galt dort für die zwei Restklassen:
[0] = {0 + [mm] 2\IZ [/mm] }
[1] = {1 + [mm] 2\IZ [/mm] }
es kommen also alle Zahlen in eine Restklasse, die, durch 2 geteilt, den selben Rest besitzen.
In
T / [mm] T^{+}
[/mm]
sehe eine Restklasse meiner Meinung nach dann aus wie
[M] = {M + [mm] T^{+} [/mm] } ,
mit M beliebiger oberer Dreiecksmatrix. Die Matrizen einer Restklasse haben dann alle die selben Diagonaleinträge, da diese durch " + [mm] T^{+} [/mm] " nicht verändert werden.
Ich soll zeigen, dass zwischen dem Ring und dem Vektorraum [mm] K^{n} [/mm] ein Isomorphismus existiert. Ich zeige also für
f: T / [mm] T^{+} \to K^{n}
[/mm]
a) f ist ein Homomorphismus
b) f ist bijektiv
Problematisch ist hier, dass ich ja noch keine Abbildung f gegeben habe, die ich auf die Eigenschaften überprüfen kann.
Ich weiß leider nicht, was es für eine Abbildung gibt, die eine obere Dreiecksmatrix in den [mm] K^{n} [/mm] abbildet. Da alle Matrizen, die ich hier betrachte da Elemente von
Mat (nxn, K)
sind könnte ich mir vielleicht sowas vorstellen, als dass man alle Zeilen oder Spalten addiert oder ähnliches, aber dies ist doch sehr ins Blaue gegriffen.
Wenn ich die Abbildung dann hätte würde ich den Homomorphiesatz anwenden wollen.
Dieser besagt:
Sei f: R [mm] \to [/mm] S ein Ringhomomorphismus.
Dann ist
f: R / ker f [mm] \to [/mm] im f
ein Isomorphismus.
Wenn ich also die Abbildung habe, muss ich nur zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist und, dass gilt:
ker f = [mm] T^{+}
[/mm]
womit dann meine gesuchte Aussage aus dem Satz folgen würde.
Wir haben dies in der Vorlesung auch schon einmal probiert mit:
R[X] / < [mm] x^{2} [/mm] + x > [mm] \to \IC
[/mm]
wobei wir hier einen Isomorphismus nachgewiesen haben.
Ich hoffe, jemand kann mir ein paar Tipps geben und mir vielleicht erklären, wie ich
T / [mm] T^{+}
[/mm]
auszufassen habe.
Liebe Grüße
Änne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 14.05.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Du hast gute Ideen.
> In
>
> T / [mm]T^{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> sehe eine Restklasse meiner Meinung nach dann aus wie
>
> [M] = {M + [mm]T^{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ,
>
> mit M beliebiger oberer Dreiecksmatrix. Die Matrizen einer
> Restklasse haben dann alle die selben Diagonaleinträge, da
> diese durch " + [mm]T^{+}[/mm] " nicht verändert werden.
Diese Veranschaulichung ist voellig richtig.
>
>
>
> Ich soll zeigen, dass zwischen dem Ring und dem Vektorraum
> [mm]K^{n}[/mm] ein Isomorphismus existiert.
Achtung: Es ist ein Ringhomomorphismus gesucht, aber kein Vektorraumisomorphismus. Obwohl Dein Ringhomomorphismus aber garantiert auch ein Vektorraumisomorphismus werden wird.
> Ich zeige also für
>
> f: T / [mm]T^{+} \to K^{n}[/mm]
>
> a) f ist ein Homomorphismus
> b) f ist bijektiv
O.K.
>
> Problematisch ist hier, dass ich ja noch keine Abbildung f
> gegeben habe, die ich auf die Eigenschaften überprüfen
> kann.
Wie Du bereits bemerkt hast, sollst Du so ein $f$ selbst finden.
>
> Ich weiß leider nicht, was es für eine Abbildung gibt,
> die eine obere Dreiecksmatrix in den [mm]K^{n}[/mm] abbildet. Da
> alle Matrizen, die ich hier betrachte da Elemente von
>
> Mat (nxn, K)
>
> sind könnte ich mir vielleicht sowas vorstellen, als dass
> man alle Zeilen oder Spalten addiert oder ähnliches, aber
> dies ist doch sehr ins Blaue gegriffen.
>
Du hast oben etwas sehr passendes festgestellt: Bei den Restklassen geht es nur noch um die Diagonaleintraege. Daher draengt sich die Idee auf eine Restklasse auf das Tupel der Diagonaleintraege abzubilden.
>
> Wenn ich die Abbildung dann hätte würde ich den
> Homomorphiesatz anwenden wollen.
> Dieser besagt:
>
> Sei f: R [mm]\to[/mm] S ein Ringhomomorphismus.
> Dann ist
>
> f: R / ker f [mm]\to[/mm] im f
>
> ein Isomorphismus.
>
>
> Wenn ich also die Abbildung habe, muss ich nur zeigen, dass
> die Abbildung surjektiv ist und, dass gilt:
>
> ker f = [mm]T^{+}[/mm]
>
> womit dann meine gesuchte Aussage aus dem Satz folgen
> würde.
Genau. Dies ist auch technisch etwas einfacher als die Restklassen direkt auf die Diagonale abzubilden. Also alternative Idee fuer $f$: Bilde jede obere Dreiecksmatrix $T$ auf ihre Diagonale ab und wende den Homomorphisatz an.
> Wir haben dies in der Vorlesung auch schon einmal probiert
> mit:
>
> R[X] / < [mm]x^{2}[/mm] + x > [mm]\to \IC[/mm]
>
> wobei wir hier einen Isomorphismus nachgewiesen haben.
>
>
> Ich hoffe, jemand kann mir ein paar Tipps geben und mir
> vielleicht erklären, wie ich
>
> T / [mm]T^{+}[/mm]
>
> auszufassen habe.
>
> Liebe Grüße
>
> Änne
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Aenne |
Hallo nochmal,
ich habe in der Zwischenzeit einige andere Aufgaben gemacht und würde dennoch gerne wissen, ob das, was ich so aufgeschrieben habe, so korrekt und eindeutig ist.
Es ist zu zeigen, dass gilt:
T / [mm] T^{+} \cong K^{n}
[/mm]
Zur Lösung der Aufgabe wende ich den Homomorphiesatz an, welcher besagt, dass gilt:
R / ker f [mm] \to [/mm] im f ist ein Isomorphismus
Ich definiere also zunächst eine Abbildung [mm] \beta [/mm] , für welche gilt:
[mm] \beta [/mm] : T / [mm] T^{+} \to K^{n}
[/mm]
wobei gilt
[mm] \pmat{\lambda_{1} & * & * & * \\ 0 & \lambda_{2} & * & * \\ 0 & 0 & ... & * \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{n}} \mapsto \vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ ... \\ \lambda_{n}}
[/mm]
Nun bin ich mir leicht unsicher. In der Vorlesung hatten wir bei einem Beispiel gezeigt, dass das Element, worüber wir die Restklasse gebildet hatten im Kern liegt über eine Teilmengenbeziehung, also
x [mm] \subset [/mm] ker f und ker f [mm] \subset [/mm] x
allerdings ist es hier ja doch recht offensichtlich, dass für die Matrix in der Restklasse 0 gilt, dass dies eine Matrix aus [mm] T^{+} [/mm] ist, da alle Diagonaleinträge Nullen sind.
Für die Surjektivität würde ich einfach sagen, dass es für alle Elemente des [mm] K^{n}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_ {n}}
[/mm]
eine Matrix
[mm] \pmat{\lambda_{1} & * & * & * \\ 0 & \lambda_{2} & * & * \\ 0 & 0 & ... & * \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{n}}
[/mm]
gibt, mit
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{n} [/mm] = [mm] x_{n}
[/mm]
sodass alles getroffen wird.
Wäre super, wenn hier nochmal jemand rüberschauen könnte und vielleicht sagen könnte, ob irgendwo was fehlt oder missverständlich sein könnte.
Liebe Grüße
Änne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 17.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo nochmal,
>
> ich habe in der Zwischenzeit einige andere Aufgaben gemacht
> und würde dennoch gerne wissen, ob das, was ich so
> aufgeschrieben habe, so korrekt und eindeutig ist.
>
> Es ist zu zeigen, dass gilt:
>
> T / [mm]T^{+} \cong K^{n}[/mm]
>
> Zur Lösung der Aufgabe wende ich den Homomorphiesatz an,
> welcher besagt, dass gilt:
>
> R / ker f [mm]\to[/mm] im f ist ein Isomorphismus
Gut.
>
> Ich definiere also zunächst eine Abbildung [mm]\beta[/mm] , für
> welche gilt:
>
> [mm]\beta[/mm] : T / [mm]T^{+} \to K^{n}[/mm]
>
> wobei gilt
>
> [mm]\pmat{\lambda_{1} & * & * & * \\ 0 & \lambda_{2} & * & * \\ 0 & 0 & ... & * \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{n}} \mapsto \vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ ... \\ \lambda_{n}}[/mm]
Ich halte diese Definition fuer ausreichend. Etwas formaler [mm] $T\ni x\mapsto (x_{ii})_{i=1}^{n}\in K^{n}$.
[/mm]
> Nun bin ich mir leicht unsicher. In der Vorlesung hatten
> wir bei einem Beispiel gezeigt, dass das Element, worüber
> wir die Restklasse gebildet hatten im Kern liegt über eine
> Teilmengenbeziehung, also
>
> x [mm]\subset[/mm] ker f und ker f [mm]\subset[/mm] x
>
> allerdings ist es hier ja doch recht offensichtlich, dass
> für die Matrix in der Restklasse 0 gilt, dass dies eine
> Matrix aus [mm]T^{+}[/mm] ist, da alle Diagonaleinträge Nullen
> sind.
Ich gebe Dir recht, dass es offensichtlich ist, dass [mm] $\beta(x)=0\iff x\in T^{+}$. [/mm] Du bist auf der sicheren Seite, wenn Du dies dennoch beweist.
>
> Für die Surjektivität würde ich einfach sagen, dass es
> für alle Elemente des [mm]K^{n}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_ {n}}[/mm]
>
> eine Matrix
>
> [mm]\pmat{\lambda_{1} & * & * & * \\ 0 & \lambda_{2} & * & * \\ 0 & 0 & ... & * \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{n}}[/mm]
>
> gibt, mit
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]x_{1},[/mm] ..., [mm]\lambda_{n}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm]
>
> sodass alles getroffen wird.
Wenn Du ein Urbild angeben moechtest, dann gib das Beispiel vollstaendig an. Sage also nicht "ich nehme eine obere Dreiecksmatrix mit der und der Hauptidiagonalen", sondern z.B. "ich nehme die obere Dreiecksmatrix mit der und Hauptdiagonalen und nur $1$ oberhalb der Hauptdiagonalen". Hier ist es zwar kein Problem, aber bei komplizierteren Fragen ist es vielleicht nicht so leicht einzusehen, ob tatsaechlich ein Objekt mit den gewuenschten Eigenschaften gibt.
>
> Wäre super, wenn hier nochmal jemand rüberschauen könnte
> und vielleicht sagen könnte, ob irgendwo was fehlt oder
> missverständlich sein könnte.
Soweit so gut. Etwas ganz wichtiges hast Du aber vergessen: Ist [mm] $\beta$ [/mm] ueberhaupt ein Homomorphismus? Wenn es keiner ist, dann ist Deine ganze Ueberlegung wertlos.
>
> Liebe Grüße
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> Änne
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