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| Aufgabe | Ergänzen Sie das Dreieck A(1/-4/-1), B(5/5/0) und C(13/2/-5) zu einem Quadrat ABCD. Beweisen Sie,
dass die Pyramide ABCD und der Spitze 8(13/-5/9) regelmäßig ist! |
Dreieck zu Quadrat ergänzen: (Parallelogramm wäre auch richtig?)
Mein Vorschlag basiert auf der Grundlage der 4 Seiten eines Parallelogrammes. Durch die Diagonale kann ich (da dieses Dreieck nachgewiesenerweise rechtwinkelig und gleichschenkelig ist,von =0A ausgehen um mit einem Richtungsvektor von der Ebene (sind ja alle eindeutig definiert, auf den Punkt 0D zusteuern.
Meine Formel dazu:
[mm] \vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}
[/mm]
Ich habe hier unter Rücksicht auf die 90grad/rechter Winkel den Pytagoras auf 4 Seiten angewandt da es sich um ein gleichschenkeliges Dreieck handelt.
...Ich meine irgenwie leuchtet mir, dass mit dem rechten Winkel schon ein, bin jedoch wegen des Pythagoras a²+b²=c² verwirrt da es sich bei diesem Lehrsatz lediglich um 3 Faktoren handelt ud bei meiner Annahme um 4.
Lösungsansatz: Da es beim Quadrat ausragende Flächenstücke gibt (Im Sinne des Herrn Pythagoras)...bin ich auf einer heissen Spur??
Rechnung:
[mm] \vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{d}=\vektor{1\\ -4\\1} +\vektor {5\\ 5\\0} -\vektor {13\\ 2\\-5} =\vektor{-7\\ -3\\6}
[/mm]
[mm] \vec{d}=\vektor{-7\\ -3\\6}
[/mm]
...somit ist das Quadrat (Paralellogram fertig)
Habe ich keine Möglichkeit zu überprüfen ob ich den Punkt auch richtig herraus gerechnet habe. Wäre für die Matura seehr nützlich 
Dreieck zu Quadrat ergänzen: (Parallelogramm wäre auch richtig?)
Mein Vorschlag basiert auf der Grundlage der 4 Seiten eines Parallelogrammes. Durch die Diagonale kann ich (da dieses Dreieck nachgewiesenerweise rechtwinkelig und gleichschenkelig ist,von =0A ausgehen um mit einem Richtungsvektor von der Ebene (sind ja alle eindeutig definiert, auf den Punkt 0D zusteuern.
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Das, dass Dreieck regelmäßig ist habe ich doch durch die gleichschnkeligkeit schon nachgewiesen:
Gerade A⁻B={[(5-1)/[5-(-4)]/[0-(-1)]}=4/9/1
Gerade B⁻C={[13-5]/[2-5]/[-5-0]=8/-3/-5]}
Getrade A⁻C={[13-1]/[2-(-4)]/[-5-(-1)]}=12/6/-4
Beträge der Geraden:
|A⁻B|= √4²+9²+1²=√16+81+1= 9,899
|A⁻C|= √12²+6²+(-4)²=14
|B⁻C|= √8²+(-3)²+ (-5)²=√64+9+25= 9,899
Weil A⁻B und B⁻V, beide den selben Wert von 9,89 aufweisen ist bewiesen, dass ein gleichschenkeliges Dreieck vorliegt!
A⁻B*B⁻C= (4/9/1)*(8/-3/-5)
A⁻B*B⁻C=[(4*8)+(9+(-3))+(-5)
A⁻B*B⁻C=32-27-5=0………….d.h die Orthogonalität ist bewiesen.
Antwort: Es handelt sich um ein gleichschenkeliges und rechtwinkeliges Dreieck!
Beweisen Sie,
dass die Pyramide ABCD und der Spitze 8(13/-5/9) regelmäßig ist!
Ein Lehrsatz des regelmäßigen/gleichwinkeliges Dreieck ist bestimmt durch eine Ihrer Seitenlänge da alle Winkel 60 grad haben!
cos phi= [mm] \vektor{1 \\ -4\\-1}*\vektor{5\\ 5\\0}/|\vektor{1 \\ -4\\-1}|*|\vektor{5\\5\\0}|
[/mm]
[mm] =5-20/\wurzel{1²-4²-1²}*\wurzel{5²+5²}=5-20/\wurzel{324}*\wurzel{50}=-19/\wurzel{16200}=-0,1492
[/mm]
arc cos -0,1494= 98,59grad
naja der Winkel zwischen [mm] \vec{a} [/mm] mit [mm] \vec{b} [/mm] sollte ja eigentlich nicht mehr als 60grad sein.....Dieses Dreieck ist also kein regelmäßiges!!?
Wichtig: der Einfachkeit nach (damit ich mich auch auskenne!) bin ich hier jedoch von einem Dreieck und nicht von der Pyramide ausgegangen. Ich wollte schauen ob sich die 60grad Definition bewahrheiten.
Müsste sie, das bei diesem konkrteten Beispiel nicht,eigentlich?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Ergänzen Sie das Dreieck A(1/-4/-1), B(5/5/0) und
> C(13/2/-5) zu einem Quadrat ABCD. Beweisen Sie,
> dass die Pyramide ABCD und der Spitze 8(13/-5/9)
> regelmäßig ist!
> Dreieck zu Quadrat ergänzen: (Parallelogramm wäre auch
> richtig?)
Hallo,
nein, zu einem Parallelogramm zu ergänzen, wäre eine etwas andere Aufgabe, denn hier gäbe es neben der Ergänzung zum Quadrat noch eine andere Möglichkeit, nämlich die, bei welcher [mm] \oberrightarrow{AC} [/mm] nicht die Diagonale des Quadrates, sondern eine Parallelogrammseite wäre.
>
> Mein Vorschlag basiert auf der Grundlage der 4 Seiten eines
> Parallelogrammes. Durch die Diagonale kann ich (da dieses
> Dreieck nachgewiesenerweise rechtwinkelig und
> gleichschenkelig ist,von =0A ausgehen um mit einem
> Richtungsvektor von der Ebene (sind ja alle eindeutig
> definiert, auf den Punkt 0D zusteuern.
>
> Meine Formel dazu:
>
> [mm]\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}[/mm]
Richtig. Damit bekommst Du den Ortsvektor von D.
m]
>
>
> [mm]\vec{d}=\vektor{1\\ -4\\1} +\vektor {5\\ 5\\0} -\vektor {13\\ 2\\-5} =\vektor{-7\\ -3\\6}[/mm]
>
> [mm]\vec{d}=\vektor{-7\\ -3\\6}[/mm]
>
> ...somit ist das Quadrat (Paralellogram fertig)
Es wäre - hättest Du nicht bei [mm] \vec{a} [/mm] ein Vorzeichen vergessen und im Vorübergehen grad mal nebenbei B und C vertauscht...
>
> Habe ich keine Möglichkeit zu überprüfen ob ich den
> Punkt auch richtig herraus gerechnet habe. Wäre für die
> Matura seehr nützlich
Es müssen [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] parallel sein, ebenso die anderen beiden Seiten.
[mm] \overrightarrow{AD}und \overrightarrow{BD} [/mm] müssen senkrecht sein.
> ---------------------------------------------
>
> Das, dass Dreieck regelmäßig ist habe ich doch durch die
> gleichschnkeligkeit schon nachgewiesen:
>
> Gerade A⁻B={[(5-1)/[5-(-4)]/[0-(-1)]}=4/9/1
> Gerade B⁻C={[13-5]/[2-5]/[-5-0]=8/-3/-5]}
> Getrade A⁻C={[13-1]/[2-(-4)]/[-5-(-1)]}=12/6/-4
>
> Beträge der Geraden:
>
> |A⁻B|= √4²+9²+1²=√16+81+1= 9,899
> |A⁻C|= √12²+6²+(-4)²=14
> |B⁻C|= √8²+(-3)²+ (-5)²=√64+9+25= 9,899
>
> Weil A⁻B und B⁻V, beide den selben Wert von 9,89
> aufweisen ist bewiesen, dass ein gleichschenkeliges Dreieck
> vorliegt!
>
> A⁻B*B⁻C= (4/9/1)*(8/-3/-5)
> A⁻B*B⁻C=[(4*8)+(9+(-3))+(-5)
> A⁻B*B⁻C=32-27-5=0………….d.h die Orthogonalität
> ist bewiesen.
>
> Antwort: Es handelt sich um ein gleichschenkeliges und
> rechtwinkeliges Dreieck!
Ja. Diese Rechnung würde man allerdings vor der Ergänzung zum Quadrat durchführen, damit man weiß, wo der rechte Winkel ist.
>
> Beweisen Sie,
> dass die Pyramide ABCD und der Spitze 8(13/-5/9)
> regelmäßig ist!
>
> Ein Lehrsatz des regelmäßigen/gleichwinkeliges Dreieck
> ist bestimmt durch eine Ihrer Seitenlänge da alle Winkel
> 60 grad haben!
Moment! mal abgesehen davon, daß ich der Grammatik dieses Satzes nicht gut folgen kann, habe ich den Verdacht, daß Du nicht weißt, was eine regelmäßige Pyramide ist. (Ich habe eben auch erstmal nachgeguckt.)
Die Dreiecksseiten müssen hierbei keine gleichseitigen Dreiecke sein, gleichschenklig sind sie. Und alle komgruent.
Aber stattt mit den Seiten rumzuwurschteln, guck lieber, ob der Fußpunkt des Lotes von der Spitze auf die Grundfläche durch die Mitte des Quadrates geht.
Gruß v. Angela
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