Dreieck unter Parabel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | Unter einer Parabel mit der Gleichung [mm] y=-a*x^2+b [/mm] soll mit Hilfe folgender Punkte ein Dreieck konstruiert werden:
Punkt A: Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse im negativen Bereich
Punkt B: Punkt auf der Parabel
Punkt C: Punkt auf x-Achse (Lot zu B)
Es soll der größt mögliche Flächeninhalt für das Dreieck gefunden werden. |
Die Strecke auf der x-Achse habe ich "g" genannt und die Strecke von B zu C habe ich "h" genannt.
HB: [mm] Fläche=\bruch{1}{2}g*h
[/mm]
Mit den NB habe ich wieder Probleme:
h ist meiner Ansicht nach ausdrückbar durch die Parabelgleichung, also: [mm] h=-a*x^2+b
[/mm]
Den Punkt A könnte man ausdrücken durch: [mm] A(x_{01};0), [/mm] da er eine Nullstelle der Parabel ist.
Jetzt fehlt mir allerdings ein Ansatz für die Grundseite g.
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Hallo,
g ist die Strecke [mm] \overline{AC}
[/mm]
h ist die Strecke [mm] \overline{CB}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
g setzt sich aus der Nullstelle im negativen Bereich und einem [mm] x_0, [/mm] an der Stelle liegt Punkt C, zusammen
h ist [mm] f(x_0)
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Da ist schon das erste Problem:
setze ich dann für den x-Wert jeweils das gleiche [mm] x_{0} [/mm] ein? Irgendwie leuchtet mir das noch nicht ganz ein.
[mm] h=-a*x_{0}^2+b [/mm] wäre die erste NB
Die Strecke von A zu (0;0) ist: [mm] \wurzel{\bruch{b}{a}} [/mm] (?) und somit die Strecke AC [mm] \wurzel{\bruch{b}{a}}+x_{0} [/mm] ?
Wäre das die zweite NB (also g)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
als erstes Bestimmst du den Schnittpunkt mit der neg. x-Achse.
der ist dann fest. dann wählst du einen beliebigen Punkt (x,f(x)) auf der parabel. dann wie steffi sagte. (a und b sind ja feste Zahlen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Deswegen ja meine Frage, ob meine Nebenbedingungen im vorigen Beitrag so korrekt sind. Stimmen die oder habe ich da wieder einen Fehler eingebaut?
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Hallo Lewser,
zunächst ein Rat vorneweg: du gehst bei diesen Auifgaben meiner Ansicht nach noch mit der falschen Strategie vor. Im Gebirge muss man manchmal ein Stück weit laufen, um dann zu entscheiden, wie es weitergeht, wenn man das Gelände übersieht. Auch in der Mathematik gibt es Probleme, bei denen ein solchen Vorgehen strategisch von Vorteil ist. Aber hier nicht. Hier wäre es zielführender, sich zunächst eine komplette Strategie zu erarbeiten und diese dann durchzuziehen.
Hier ein Vorschlag meinerseites:
- Bestimme den Punkt A (ist ja schon gesschehen).
- Gib den Punkt B in Abhängigkeit einer neuen Variablen x=u an, seine y-Koordinate bekommst du mit der Funkltionsgleichung.
- Nun bestimme die Normale an die Parabel in B. Die Normalensteigung erhälst du bekanntlich durch
[mm] m_N=-\bruch{1}{f'(u)}
[/mm]
- Ermittle den Schnittpunkt [mm] x_0 [/mm] (die Nullstelle der Normalen)
- Ermittle die Grundseite des Dreiecks aus der Differenz [mm] |x_0-x_A|
[/mm]
- Stelle deine Zielfunktion in Abhängigkeit von u mit Hilfe der Formel für die Dreiecksfläche auf.
- Ermittle den Extremwert mit der einschlägig bekannten Methode.
Insofern muss man über deine Nebenbedingung oben eigentlich nicht weiter nachdenken, sie ist die Höhe des Dreiecks, und so man möchte kann man sie als Nebenbedingung bezeichnen. Wenn ein Zimmermann seinem Hammer einen Namen gibt, meinst du, er trifft die Nägel dann besser? 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Jut. In Ansätzen verstehe ich dein Vorgehen, leider nur in Ansätzen. Ich passe.
Aber eine Frage möchte ich noch (an dich Diophant) loswerden:
Welcher Teil an meiner Herangehensweise ist "falsch"?
Ich habe mir überlegt, wie ich an beide Seiten herankommen könnte und habe nachgefragt, ob meine Gleichungen dafür korrekt sind. Darauf habe ich in zwei Beiträgen keine Antwort bekommen. Versteh das bitte nicht falsch, aber es hätte mir eher geholfen, wenn jemand einfach geschrieben hätte "die folgende NB ist falsch:" oder mir erklärt hätte warum mein Weg nicht ratsam/falsch ist und es einen besseren gibt.
Den Vergleich mit dem Handwerker und dem Hammer verstehe ich ebenfalls nicht.
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Hallo,
ich habe nicht gesagt, das sei alles falsch. Aber du bist viel zu sehr in diesem Schubladen-Denken mit Haupt- und Nebenbedingungen verhaftet.
Zunächst analysiert man die Lage der Punkte und stellt fest: aha, zwei Punkte leigen auf der x-Achse. Wenn ich deren Abstand als Grundseite des Dreiecks wähle, dann ist die Höhe eine senkrechte Strecke und somit durch den Funktionsterm zu bestimmen.
Nächste Überlegung: mit den dir zur Verfügung stehenden Mitteln sollte man solche Probleme in Abhängigkeit von einer Variablen angehen. Das geht auch anders, aber nicht mit den Mitteln der Schulmathematik. Wenn ich hier falsch liege mit der Einschätzung deiner Kenntnisse, dann korrigiere mich bitte.
Sinnvollerweise beginnt man nun bei Punkt B, denn der ist ja dasjenige, was in der Aufgabenstellung variiert werden soll (er wandert auf der Parabel). Zur besseren Übersicht gibt man nun der x-Koordinate eines solchen Punktes einen neuen Namen, etwa u. Seine y-Koordinate (die gleichzeitig die Dreieckshöhe ist) bekommt man mittels f(u). Nun gilt es noch, den Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse zu bestimmen. Dieser muss natürlich auch von u abhängen. Also stellt man die Normalengleichung in Abhängigkeit von u auf wie beschrieben und berechnet die Nullstelle dieser Normalen. Dann hat man alles, was man für die Zielfunktion braucht.
Ich habe nämlich, und das nur als Unterstreichung meines gutgemeinten Ratschlags, bei dir nirgends etwas zu der Länge der Grundseite des Dreiecks gesehen als irgendeinen Satz mit 'könnte'. 
Man kann, und ich habe dir explizit aufgeschrieben, wie das geht, von daher verstehe jetzt ich nicht so ganz, weshalb du mit meinem Tipp nicht klarkommst (ohne das dies ein Vorwurf sein soll).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Dann ist das vielleicht ein Misverständnis, ich hatte nicht vor mich von einer Vermutung zur nächsten zu hangeln, daher hatte ich gleich in der zweiten Frage folgendes geschrieben:
Die Strecke von A zu (0;0) ist: [mm] \wurzel{\bruch{b}{a}} [/mm] (?) und somit die Strecke AC: [mm] \wurzel{\bruch{b}{a}}+x_{0} [/mm] ?
Allerdings lese ich jetzt aus deinen vorhergehenden Antworten, dass ich dabei fälschlicher Weise den Wert [mm] x_{0} [/mm] doppelt verwende. Sehe ich das richtig?
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Hallo Diophant
> Hier ein Vorschlag meinerseites:
>
> - Bestimme den Punkt A (ist ja schon gesschehen).
>
> - Gib den Punkt B in Abhängigkeit einer neuen Variablen
> x=u an, seine y-Koordinate bekommst du mit der
> Funkltionsgleichung.
>
> - Nun bestimme die Normale an die Parabel in B. Die
> Normalensteigung erhälst du bekanntlich durch
>
> [mm]m_N=-\bruch{1}{f'(u)}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Da hast du offenbar die Aufgabenstellung anders interpretiert
als Steffi, die die Zeichnung beigesteuert hat !
Nach Steffis Interpretation ist keine Normale zur Parabel
gefragt !
> - Ermittle den Schnittpunkt [mm]x_0[/mm] (die Nullstelle der
> Normalen)
>
> - Ermittle die Grundseite des Dreiecks aus der Differenz
> [mm]|x_0-x_A|[/mm]
>
> - Stelle deine Zielfunktion in Abhängigkeit von u mit
> Hilfe der Formel für die Dreiecksfläche auf.
>
> - Ermittle den Extremwert mit der einschlägig bekannten
> Methode.
Die Aufgabenstellung, wie sie angegeben wurde,
lautete:
"Unter einer Parabel mit der Gleichung $ [mm] y=-a\cdot{}x^2+b [/mm] $
soll mit Hilfe folgender Punkte ein Dreieck konstruiert werden:
Punkt A: Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse im negativen Bereich
Punkt B: Punkt auf der Parabel
Punkt C: Punkt auf x-Achse (Lot zu B)
Es soll der größtmögliche Flächeninhalt für das Dreieck gefunden werden."
Diese Aufgabenstellung ist schon zu kritisieren, denn die
Angabe "Punkt C: Punkt auf x-Achse (Lot zu B)" ist wirklich
absolut nicht klar.
Ich vermute trotzdem, dass Steffis Interpretation, bei
welcher C der Fusspunkt des von B aus auf die x-Achse
gefällten Lotes ist, gemeint war.
Die Hauptkritik geht aber eindeutig an den Aufgabensteller.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Daher die Verwirrung. Das Dreieck, welches aufgespannt wird, soll rechtwinklig sein, so wie in Steffis Zeichnung.
Jetzt weiss ich auch, wie das Dreieck von Diophant aussieht.
Damit ich mich in Zukunft klarer ausdrücke:
Wie hätte ich es korrekt formulieren sollen?
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> Daher die Verwirrung. Das Dreieck, welches aufgespannt
> wird, soll rechtwinklig sein, so wie in Steffis Zeichnung.
> Jetzt weiss ich auch, wie das Dreieck von Diophant
> aussieht.
> Damit ich mich in Zukunft klarer ausdrücke:
>
> Wie hätte ich es korrekt formulieren sollen?
So lautete die Aufgabenstellung:
| Aufgabe 1 | Unter einer Parabel mit der Gleichung $ [mm] y=-a\cdot{}x^2+b [/mm] $ soll mit Hilfe
folgender Punkte ein Dreieck konstruiert werden:
Punkt A: Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse im negativen Bereich
Punkt B: Punkt auf der Parabel
Punkt C: Punkt auf x-Achse (Lot zu B)
Es soll der größt mögliche Flächeninhalt für das Dreieck gefunden werden. |
und so würde ich sie etwa formulieren:
| Aufgabe 2 | Im Segment der Parabel mit der Gleichung $ [mm] y=-a\cdot{}x^2+b [/mm] $ (mit a>0 und b>0),
welches oberhalb der x-Achse liegt, soll mit Hilfe folgender Punkte
ein Dreieck konstruiert werden:
Punkt A: linker Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse
Punkt B: Punkt auf dem Parabelbogen (mit y>0)
Punkt C: Fußpunkt des von B auf die x-Achse gefällten Lotes
Welchen maximalen Flächeninhalt kann das Dreieck ABC haben ? |
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Do 14.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo A-Chwarizmi & Lewser,
> Da hast du offenbar die Aufgabenstellung anders
> interpretiert
> als Steffi, die die Zeichnung beigesteuert hat !
>
> Nach Steffis Interpretation ist keine Normale zur Parabel
> gefragt !
Stimmt. Da muss ich mich partiell entschuldigen. Ich bin da etwas in meine Interpretation hineingeschossen.
@Al-Chwarizmi: vielen Dank für die Korrektur!
@Lewser: für die Interpretation von steffi21, die ich jetzt bei genauerem Überlegen auich favoritisiere, ist die Grundseite
[mm] g=u+\wurzel{\bruch{b}{a}}
[/mm]
und in deiner Version heißt das u [mm] x_0 [/mm] (was ich aber für sehr ungeschickt halte.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Jut, dann mach ich mal hier weiter:
Ich übernehme mal von dir einfach das "u".
NB 1: [mm] h=-a*u^2+b [/mm] (da ich ja das [mm] x_{0} [/mm] schon für die Nullstelle beim Punkt A verbraten habe)
NB 2: [mm] g=\wurzel{\bruch{b}{a}}+u
[/mm]
und daraus folgt dann:
Fläche = [mm] \bruch{1}{2}*(-a*u^2+b)*(\wurzel{\bruch{b}{a}}+u)
[/mm]
Jetzt ableiten und das Ergebnis ist die Stelle auf der x-Achse, welche mir das gesuchte Dreieck liefert?
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Hallo,
> Jut, dann mach ich mal hier weiter:
>
> Ich übernehme mal von dir einfach das "u".
>
> NB 1: [mm]h=-a*u^2+b[/mm] (da ich ja das [mm]x_{0}[/mm] schon für die
> Nullstelle beim Punkt A verbraten habe)
>
> NB 2: [mm]g=\wurzel{\bruch{b}{a}}+u[/mm]
>
> und daraus folgt dann:
>
> Fläche =
> [mm]\bruch{1}{2}*(-a*u^2+b)*(\wurzel{\bruch{b}{a}}+u)[/mm]
>
> Jetzt ableiten und das Ergebnis ist die Stelle auf der
> x-Achse, welche mir das gesuchte Dreieck liefert?
Ja, das passt jetzt alles. Die Lösung für u liefert dir die beiden Koordinaten, welche die senkrechte Dreieckseite begrenzen, insbesondere den x-Wert, der ja gesucht ist.
Noch ein Tipp zum Ableiten: ich würde vorher die beiden Klammern noch ausmultiplizieren.
Noch ein Tipp zur Schreibweise: [mm] x_0 [/mm] verwendet man gerne für feststehende Werte, u dagegen für veränderliche. Aber auch hier gilt natürlich: Namen sind Schall und Rauch.
Sorry nochmals für meinen Irrtum, aber die Aufgabe ist tatsächlich soi formuliert, dass man, sagen wir mal, eingeladen wird, sie falsch zu verstehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
so sieht mein Rechenweg aus:
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(-a\cdot{}u^2+b)\cdot{}(\wurzel{\bruch{b}{a}}+u)
[/mm]
Abgeleitet:
[mm] f'(u)=-\bruch{3}{2}au^2-\wurzel{\bruch{b}{a}}ua+b
[/mm]
Null setzen:
[mm] 0=u^2+\bruch{2}{3}\wurzel{\bruch{b}{a}}u-\bruch{2}{3}\bruch{b}{a}
[/mm]
Problem:
Als Ergebnis ist [mm] u=\bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{b}{a}} [/mm] angegeben. Ich bekomme allerdings unter der Wurzel mit der pq-Formel: [mm] \bruch{1}{9}\bruch{b}{a}+\bruch{2}{3}\bruch{b}{a}
[/mm]
Habe nochmal durchgeschaut und nichts gesehen, was ich direkt verbockt habe. Vielleicht schon beim ableiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Fehler:
$ [mm] f'(u)=-\bruch{3}{2}au^2-\wurzel{\bruch{b}{a}}ua+b [/mm] $
bei b fehlt ein Faktor 1/2
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Do 14.06.2012 | | Autor: | Lewser |
Danke an alle Beteiligten - war 'ne Wucht. Aufgabe gelöst. Viel gelernt.
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