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Ich lerne gerade für meine Staatsexamensprüfung und hänge derzeit an den Beweisen zur Geometrie in der Ebene. Konkret verstehe ich den Beweis des Satzes
"Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks [mm](a,b,c)[/mm] schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in [mm]\frac{1}{3}(a+b+c)[/mm]."
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Zunächst das etwas Vorwissen:
Def1
Eine Gerade in [mm]\mathbb{C}[/mm] ist ein eindimensionaler affiner reeller Unterraum von [mm]\mathbb{C}[/mm] und hat daher stets die Form [mm]a+\mathbb{R}u\; = \;\{a+\lambda u, \lambda\in\mathbb{R}\}[/mm].
Satz2
Für [mm]a,b,c \in \mathbb{C}[/mm] gilt:
[mm]a,b,c[/mm] liegen genau dann auf einer Geraden, wenn
[mm]\Delta(a,b,c) := Im((a-c)\overline{(b-c)}) = Im(a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a)) \;=\;0[/mm]
Lem3
Die Seitenhalbierenden sind genau
[mm]c+\mathbb{R}(a+b-2c)[/mm]
[mm]b+\mathbb{R}(c+a-2b)[/mm]
[mm]a+\mathbb{R}(b+c-2a)[/mm]
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Der Beweis des obigen Satz sieht nun wie folgt aus:
"Man verifiziert leicht, dass [mm]\frac{1}{3}(a+b+c)[/mm] auf allen 3 Seitenhalbierenden liegt, von denen wegen [mm]Im((a+b-2c)\overline{(c+a-2b)}) \underbrace{= -3\Delta(a,b,c)}_{???????} \neq 0[/mm]
usw. keine zwei parallel sind."
Klar ist für mich, dass wir zunächst den obigen Satz2 verwenden. Und zwar wählen wir
[mm]c'= 0+i0, a'=a+b-2c, b'=c+a-2b[/mm] für die 3 Punkte in [mm]\mathbb{C}[/mm].
Völlig unklar ist wie man dann auf die mit ??????? gekennzeichnete Umformung kommt!
Da eine solche Umformung bei einigen anderen Beweisen ebenfalls verwendet wird, wäre es gut zu klären, was da passiert!
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> "Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks [mm](a,b,c)[/mm] schneiden
> sich in genau einem Punkt, nämlich in
> [mm]\frac{1}{3}(a+b+c)[/mm]."
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> Zunächst das etwas Vorwissen:
>
> Def1
> Eine Gerade in [mm]\mathbb{C}[/mm] ist ein eindimensionaler affiner
> reeller Unterraum von [mm]\mathbb{C}[/mm] und hat daher stets die
> Form [mm]a+\mathbb{R}u\; = \;\{a+\lambda u, \lambda\in\mathbb{R}\}[/mm].
>
> Satz2
> Für [mm]a,b,c \in \mathbb{C}[/mm] gilt:
> [mm]a,b,c[/mm] liegen genau dann auf einer Geraden, wenn
> [mm]\Delta(a,b,c) := Im((a-c)\overline{(b-c)}) = Im(a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}) \;=\;0[/mm]
>
> Lem3
> Die Seitenhalbierenden sind genau
> [mm]c+\mathbb{R}(a+b-2c)[/mm]
> [mm]b+\mathbb{R}(c+a-2b)[/mm]
> [mm]a+\mathbb{R}(b+c-2a)[/mm]
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> Der Beweis des obigen Satz sieht nun wie folgt aus:
>
> "Man verifiziert leicht, dass [mm]\frac{1}{3}(a+b+c)[/mm] auf allen
> 3 Seitenhalbierenden liegt, von denen wegen
> [mm]Im((a+b-2c)\overline{(c+a-2b)}) \underbrace{= -3\Delta(a,b,c)}_{???????} \neq 0[/mm]
>
> usw. keine zwei parallel sind."
>
>
> Klar ist für mich, dass wir zunächst den obigen Satz2
> verwenden. Und zwar wählen wir
> [mm]c'= 0+i0, a'=a+b-2c, b'=c+a-2b[/mm] für die 3 Punkte in
> [mm]\mathbb{C}[/mm].
>
> Völlig unklar ist wie man dann auf die mit ???????
> gekennzeichnete Umformung kommt!
Hallo,
ich denke nicht, dass du da ein neues Dreieck a'b'c' brauchst.
Es soll einfach gezeigt werden, dass die zwei Richtungsvektoren
u:=a+b-2c und v:=c+a-2b nicht parallel sind. Dies kann man
in [mm] \IC [/mm] tun, indem man zeigt, dass [mm] u*\overline{v} [/mm] und damit auch [mm] \frac{u}{v} [/mm] rein reell ist.
Wenn man den Term für den Imaginärteil von [mm] (a+b-2c)\overline{(c+a-2b)}
[/mm]
ausrechnet, indem man [mm] a:=a_r+i*a_i [/mm] etc. setzt, erhält man
ein Ausdruck aus 6 Summanden, aus dem man einen Faktor
ausklammern kann. Was dann noch bleibt, kann man entweder
als ein Vektorprodukt interpretieren, nämlich
[mm] $\pmat{a_r\\b_r\\c_r}\times \pmat{a_i\\b_i\\c_i}$
[/mm]
oder als die Determinante der [mm] 3\times3 [/mm] - Matrix
[mm] $\pmat{a_r&a_i&1\\b_r&b_i&1\\c_r&c_i&1}$ [/mm]
für die offenbar das Symbol [mm] \Delta(a,b,c) [/mm] verwendet wird ...
LG Al-Chw.
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