Dreieck Inhalt und Umfang < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Zu zeigen: Unter allen Dreiecken mit dem selben Flächeninhalt hat das gleichseitige den kleinsten Umfang |
Hi,
ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch.
Ich weiß zwar, dass U=a+b+c ist, aber ich brauch ja, damit ich nach dem Minimum für den Umfang suchen kann, einen Zusammenhang zw. b c und a. Der ist mir wahrscheinlich über den Flächeninhalt gegeben, aber ch sehe ihn nicht.
Habe bisher nur die "normale" Formel für den Flächeninhalt, nämlich sowas wie [mm] A=1/2a*h_a, [/mm] wobei a eine Seite ist und [mm] h_a [/mm] die dazugehörige Höhe. Analog für b und c. Dann kann ich das für alle drei Seiten gleichsetzen, und rausbekommen, dass [mm] b=a*h_a/h_b [/mm] ist, analog für c. Das bringt mir aber auch niciht sonderlich viel weiter, weil ich so gut wie nichts über die Höhen aussagen kann. Die Annahme, dass ich ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen habe, ist m.E. auch nicht allgemein genug.
Kennt jemand von euch eine andere Möglichkeit, über den Flächeninhalt eine Abhängigkeit zwischen a b und c herauszuebkommen, so dass ich in der Umfangsformel dann nur noch z.B. die Variable a habe?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Fr 25.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Kroni.
In einem gleichseitigen Dreieck gilt mit dem Pythagoras:
[mm] h_{a}²+\bruch{a²}{4}=a²
[/mm]
[mm] \gdw h_{a}=\bruch{a*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Nimm mal den Umfang her.
U=a+b+c
Es gilt nun jeweils.
[mm] A=\bruch{a*h_{a}}{2}=\bruch{b*h_{b}}{2}=\bruch{c*h_{c}}{2}
[/mm]
[mm] \gdw2A=a*h_{a}=b*h_{b}=c*h_{c}
[/mm]
Also gilt:
[mm] U=\bruch{2A}{h_{a}}+\bruch{2A}{h_{b}}+\bruch{2A}{h_{c}}
[/mm]
Hier würde ich mal versuchen, die Winkel ins Spiel zu bringen, und dann nach diesen abzuleiten.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 25.01.2008 | | Autor: | abakus |
Der einfachste Weg wäre, eine der drei Längen, z.B. c, konstant zu lassen und anschließend zu zeigen, dass dann das gleichschenklige Dreieck mit a=b den größten Flächeninhalt aller Dreiecke mit diesem c und gleicher Summe a+b hat. Dann zeigt man, dass von allen gleichschenkligen Dreiecken mit festem u, mit a=b und mit variablem c der größte Inhalt bei a=b=c entsteht.
Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Heronischen Dreiecksformel.
Die dort (unter anderem) auftretenden Faktoren s-a, s-b und s-c (es gilt s=u/2) haben die konstante Summe 3s-u=0,5u. Das Produkt von drei solchen Summanden mit gleicher Summe wird maximal, wenn die drei Summenden gleich sind, also wenn a=b=c gilt. (Diese Aussage ist beweisbar mit dem Satz über das arithmetische und geometrische Mittel.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Fr 25.01.2008 | | Autor: | weduwe |
ich habe es nach derselben idee wie abakus gemacht:
1) zeige, dass unter allen dreiecken mit konstanter fläche und konstanter grundseite das gleichschenkelige das gesuchte ist.
das geht am einfachsten - denke ich - mit den mitteln der analytischen geometrie.
mit A(-c/0), B(c/0) und C(c/h=const) hat man
[mm]U=2c+\sqrt{(x+c)²+h²}+\sqrt{(x-c)²+h²}[/mm] was auf x= 0 führt.
2) zeige nun, dass unter den gleichschenkeligen das gleichseitige extrem ist.
es gilt
(1) [mm] tan\alpha=\frac{4A}{c²}
[/mm]
[mm] U(c)=c+2a=c(1+\frac{1}{cos\alpha})\to c²=\frac{4A}{\sqrt{3}}
[/mm]
das ergibt nun in (1) eingesetzt: [mm] tan\alpha=\sqrt{3}\to \alpha=\frac{\pi}{3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Di 29.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi, danke für eure Antworten. Dass das gleichseitige den kleinsten Umfang hat, habe ich nachgewiesen.
> 2) zeige nun, dass unter den gleichschenkeligen das
> gleichseitige extrem ist.
>
> es gilt
> (1) [mm]tan\alpha=\frac{4A}{c²}[/mm]
Das verstehe ich onch.
>
> [mm]U(c)=c+2a=c(1+\frac{1}{cos\alpha})\to c²=\frac{4A}{\sqrt{3}}[/mm]
Aber wie kommst du auf das Ergebnis ivon [mm] c^2? [/mm] Den Schritt verstehe ich nicht.
>
> das ergibt nun in (1) eingesetzt: [mm]tan\alpha=\sqrt{3}\to \alpha=\frac{\pi}{3}[/mm]
Ja, das wäre ein Winkel von 60°=> Gleichseitig. Aber wie kommst du darauf, dass [mm] c^2 [/mm] dem obigen Wert entspricht?
Mein anderer Ansatz war, dass ich gesagt habe, dass U=2a+c, das ist ja offensichtlich. Dann habe ich gesagt, dass A=1/2ch, wobei h die Höhe auf c ist. Dann soll ja gelten, dass A=const. Dann habe ich mit Pythagoras berechnet, dass [mm] a=\sqrt{h^2+(c/2)^2} [/mm] gilt. Das habe ich in U eingesetzt. Dann habe ich noch h in Abhängigkeit von c gebracht, denn wenn A konstant, und c größer wird, muss h kleiner werden. Da gilt A=1/2ch, habe ich umgestellt nach h=2A/c und dann lautet meine Umfangsfunktion:
[mm] U(c)=2\sqrt{\frac{4A^2}{c^2}+\frac{c^2}{4}}+c
[/mm]
Wenn ich das ableite und Nullsetze kommt laut CAS etwas merkwürdiges heraus. Ich weiß gerade auch nicht, warum ich mit diesem Ansatz scheitere.
LG
Kroni
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Di 29.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hi, danke für eure Antworten. Dass das gleichseitige den
> kleinsten Umfang hat, habe ich nachgewiesen.
>
> > 2) zeige nun, dass unter den gleichschenkeligen das
> > gleichseitige extrem ist.
> >
> > es gilt
> > (1) [mm]tan\alpha=\frac{4A}{c²}[/mm]
>
> Das verstehe ich onch.
> >
>
> > [mm]U(c)=c+2a=c(1+\frac{1}{cos\alpha})\to c²=\frac{4A}{\sqrt{3}}[/mm]
>
> Aber wie kommst du auf das Ergebnis ivon [mm]c^2?[/mm] Den Schritt
> verstehe ich nicht.
>
> >
> > das ergibt nun in (1) eingesetzt: [mm]tan\alpha=\sqrt{3}\to \alpha=\frac{\pi}{3}[/mm]
>
> Ja, das wäre ein Winkel von 60°=> Gleichseitig. Aber wie
> kommst du darauf, dass [mm]c^2[/mm] dem obigen Wert entspricht?
>
> Mein anderer Ansatz war, dass ich gesagt habe, dass U=2a+c,
> das ist ja offensichtlich. Dann habe ich gesagt, dass
> A=1/2ch, wobei h die Höhe auf c ist. Dann soll ja gelten,
> dass A=const. Dann habe ich mit Pythagoras berechnet, dass
> [mm]a=\sqrt{h^2+(c/2)^2}[/mm] gilt. Das habe ich in U eingesetzt.
> Dann habe ich noch h in Abhängigkeit von c gebracht, denn
> wenn A konstant, und c größer wird, muss h kleiner werden.
> Da gilt A=1/2ch, habe ich umgestellt nach h=2A/c und dann
> lautet meine Umfangsfunktion:
>
> [mm]U(c)=2\sqrt{\frac{4A^2}{c^2}+\frac{c^2}{4}}+c[/mm]
>
> Wenn ich das ableite und Nullsetze kommt laut CAS etwas
> merkwürdiges heraus. Ich weiß gerade auch nicht, warum ich
> mit diesem Ansatz scheitere.
>
>
>
> LG
>
> Kroni
> >
>
hallo kroni,
da bin ich so drauf gekommen:
[mm] U(c)=c(1+\frac{1}{cos\alpha})
[/mm]
[mm] cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+tan²\alpha}}
[/mm]
[mm] U(c)=c+\frac{\sqrt{c^4+16A^²}}{c}
[/mm]
[mm] U^\prime=1+\frac{2c^4-c^4-16A^2}{c²\sqrt{c^4+16A²}}=0
[/mm]
jetzt ausquadrieren führt auf:
[mm] c^8+16A²c^4=c^8-32A²c^4+256A^4\to c²=\frac{4A}{\sqrt{3}} [/mm]
und damit auf [mm] tan\alpha=\sqrt{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 29.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
Ich glaub, ich hab ne einfachere Idee:
jedes Dreieck hat nen Innenkreis, Radius r. Der doppelte Flächeninhalt ist dann 2A=r*U.
Man kann also bei festem U das Dreieck mit größten r suchen.
oder das Problem umdrehen, und bei festem r das dreieck mit kleinstem <umfang.
Wenn man die halben Innenwinkel zwischen den Radien die senkrecht auf den Seiten stehen als Parameter x,y,z nimmt. hat man [mm] x+y+z=\pi
[/mm]
[mm] (tanx+tany+tan(\pi-x-y))*r=U/2
[/mm]
tanx+tany-tan(x+y)=U/2r=f(x,y)
halte y fest und leite nach x ab benutze nicht [mm] tan'=1/cos^2 [/mm] sondern [mm] tan'=1+tan^2
[/mm]
dann hat man für [mm] f_x=0 tan^2(x)=tan^2(x+y) [/mm] richtig für [mm] x=\pi-(x+y)=z
[/mm]
hält man y fest bekommt man dann y=z also x=y=z.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 29.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für eure Antworten. Habe das jetzt nachvollzogen um komme auch auf die 60° => gleichseitiges Dreieck hat den geringsten Umfang =)
Liebe Grüße,
Kroni
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