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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 So 12.06.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Es sei das Dreieck [mm] M\subset\IR^2 [/mm] gegeben durch die drei begrenzenden Geraden x=0, y=0 und x+y=6.
Man ermittle lokale/ globale Extrema der Abbildung [mm] f:M\to\IR, f(x,y)=4x^2y-x^3y-x^2y^2=x^2y(4-x-y) [/mm] |
Hallo,
bei normalen Extremwertaufgaben muss ich die Hessematrix berechnen und schauen, wann sie für Punkte, bei denen der Gradient Null ist,positiv oder negativ definit ist.
Es ist grad [mm] f(x,y)=(8xy-3x^2y-2xy^2, 4x^2-x^3-2yx^2) [/mm] und [mm] H_f(x,y)=\pmat{8y-6xy-2y^2&8x-3x^2-4xy\\8x-3x^2-4xy&-2x^2}
[/mm]
Wie geht es weiter und insbesondere, wie kann ich die Nebenbedingung ins Spiel bringen?
Danke für Hilfe.
mfg, pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 So 12.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Es sei das Dreieck [mm]M\subset\IR^2[/mm] gegeben durch die drei
> begrenzenden Geraden x=0, y=0 und x+y=6.
>
> Man ermittle lokale/ globale Extrema der Abbildung
> [mm]f:M\to\IR, f(x,y)=4x^2y-x^3y-x^2y^2=x^2y(4-x-y)[/mm]
> Hallo,
>
> bei normalen Extremwertaufgaben muss ich die Hessematrix
> berechnen und schauen, wann sie für Punkte, bei denen der
> Gradient Null ist,positiv oder negativ definit ist.
>
> Es ist grad [mm]f(x,y)=(8xy-3x^2y-2xy^2, 4x^2-x^3-2yx^2)[/mm] und
> [mm]H_f(x,y)=\pmat{8y-6xy-2y^2&8x-3x^2-4xy\\8x-3x^2-4xy&-2x^2}[/mm]
>
> Wie geht es weiter und insbesondere, wie kann ich die
> Nebenbedingung ins Spiel bringen?
Berechne erst einmal ganz normal Lage und Art der Lokalen Extrempunkte.
Teste dann:
1) Liegen diese Punkte im erlaubten Bereich (in oder auf dem Rand des Dreiecks)?
2) Gibt es auf dem Rand des Gebietes globale Extrempunke?
Gruß Abakus
>
> Danke für Hilfe.
>
> mfg, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 12.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für die Antwort.
ich habe jetzt gerechnet für grad f=0:
1) [mm] f_y(x,y)=x^2(4-x-2y)=0
[/mm]
2) [mm] f_x(x,y)=2xy(4-3x-2y)=0
[/mm]
und komme auf [mm] (0,y),y\in\IR [/mm] und (4,0) als Lösungsmenge. Wolframalpha ist aber der Meinung, bei der Funktion wäre bei (2,1) ein lokales Maximum. Kann es sein, dass ich mich verrechnet habe? Ich sehe nur keinen Fehler...
Bitte um Hilfe 
mfg
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Hallo pyw,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> ich habe jetzt gerechnet für grad f=0:
>
> 1) [mm]f_y(x,y)=x^2(4-x-2y)=0[/mm]
> 2) [mm]f_x(x,y)=2xy(4-3x-2y)=0[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]f_x(x,y)=xy(\red{8}-3x-2y)=0[/mm]
>
> und komme auf [mm](0,y),y\in\IR[/mm] und (4,0) als Lösungsmenge.
> Wolframalpha ist aber der Meinung, bei der Funktion wäre
> bei (2,1) ein lokales Maximum. Kann es sein, dass ich mich
> verrechnet habe? Ich sehe nur keinen Fehler...
> Bitte um Hilfe
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 12.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]f_x(x,y)=xy(\red{8}-3x-2y)=0[/mm]
oh, vielen Dank. Jetzt passt es.
(2,1) gibt tatsächlich ein lokales Maximum, denn [mm] H_f(2,1)=\pmat{-6&-4\\-4&-2} [/mm] ist negativ definit.
Ferner ist [mm] H_f(0,y)=\pmat{2y(4-y)&0\\0&0}. [/mm]
Was muss ich hier machen, um den Rand zu untersuchen? Muss ich y=0 und y=6 einsetzen?
Danke für Hilfe, ich hab sowas noch nie gemacht.
mfg
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> Hallo,
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]f_x(x,y)=xy(\red{8}-3x-2y)=0[/mm]
> oh, vielen Dank. Jetzt passt es.
>
> (2,1) gibt tatsächlich ein lokales Maximum, denn
> [mm]H_f(2,1)=\pmat{-6&-4\\-4&-2}[/mm] ist negativ definit.
>
> Ferner ist [mm]H_f(0,y)=\pmat{2y(4-y)&0\\0&0}.[/mm]
> Was muss ich hier machen, um den Rand zu untersuchen? Muss
> ich y=0 und y=6 einsetzen?
> Danke für Hilfe, ich hab sowas noch nie gemacht.
Hallo pyw,
wenn du f auf eine der drei Randstrecken des Dreiecks
beschränkst, erhältst du jeweils eine Funktion einer
Variablen, die mit den Mitteln der Analysis in [mm] \IR [/mm] zu
untersuchen ist.
Beispiel: für die schräge Berandung gilt y=6-x (einsetzen !),
und die Variable x darf von x=0 bis x=6 laufen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 So 12.06.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo nochmal an alle,
ich denke ich habe es jetzt geschafft.
Danke für eure Hilfe!
mfg
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