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Forum "Vektoren" - Dreieck
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Dreieck: Schwerpunkt;Hochpunkt etc.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mo 10.02.2014
Autor: MathematikLosser

Aufgabe
Gegeben ist ein Dreieck ABC
A(6/-7)
B(2/5)
C (-6/-3)

Berechne den Hochpunkt H, den Umkreismittelpunkt U und den Schwerpunkt S.

Mein Versuch um den Schwerpunkt zu berechnen:
H BC= [mm] \bruch{\pmat{ 2 & -6 \\ 5 & -3 }}{2} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\ 1} [/mm]
[mm] \overline{AH}BC= [/mm] HBC-A [mm] =\vektor{-2\\ 1}- \vektor{6\\ -7}=\vektor{-8\\ 6} [/mm]

H [mm] AB=\bruch{\vektor{6 \\ -7}-\vektor{2 \\ 5}}{2}= \vektor{4 \\ -1} [/mm]

[mm] \overline{CH} [/mm] AB= [mm] \vektor{4 \\ -1}-\vektor{-6 \\ -3}=\vektor{10 \\ 2} [/mm]

Nun den Schnittpunkt berechnen:
[mm] S=\bruch{1}{3}* [/mm] (A*B*C)= [mm] \vektor{0,6666... \\ -1,6} [/mm]

Stimmt das?

Und nun meine eigentliche Frage wie berechne ich mir mittels Vektoren den Umkreismittelpunkt und den Hochpunkt?

        
Bezug
Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mo 10.02.2014
Autor: HJKweseleit

Ja, du hast den Schwerpunkt richtig berechnet. Es geht aber (viel) einfacher, wenn du ein einziges Mal folgende etwas aufwendigere Überlegung durchführst:

Zeichne dir ein Dreieck ABC und irgendwo den Ursprung O des Koordinatensystems hin (das Koord.-Syst. selber brauchst du gar nicht). Zeichne nun von O aus die Ortsvektoren [mm] \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}. [/mm]

Dann ist der Ortsvektor des Mittelpunktes M der Strecke AB:
[mm] \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{m}= \overrightarrow{a}+0,5*\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+0,5*(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0,5*(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) [/mm]

(Zeichne M und [mm] \overrightarrow{m} [/mm] ein.)

Nun gehst du von M  zu C, aber nur 1/3 der Wegstrecke. Dort liegt, wie du weißt, der Schwerpunkt S. Zeichne S ein und [mm] \overrightarrow{s}=\overrightarrow{OS}. [/mm]

[mm] \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{s}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MC}/3=\overrightarrow{m}+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{m})/3=\overrightarrow{c}/3+\overrightarrow{m}*2/3=\overrightarrow{c}/3+0,5*(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})*2/3=\overrightarrow{c}/3+(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})/3=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})/3 [/mm]

Auf Deutsch: Beim nächsten Mal lässt du die gesamten Vektor-Überlegungen weg. Du addierst einfach  alle 3 x-Komponenten der Eckpunkte und teilst durch 3 [mm] \mapsto x_{Schwerpunkt}, [/mm] du addierst alle 3 y-Komponenten der Eckpunkte und teilst durch 3 [mm] \mapsto y_{Schwerpunkt}. [/mm]

Hier also:  [mm] x_{Schwerpunkt}=(6+2-6)/3=2/3 [/mm] und  [mm] y_{Schwerpunkt} [/mm] = (-7+5-3)/3 = -5/3, und fertig!

Diese Überlegungen gelten auch, wenn du im 3-dimensionalen Raum arbeitest: dann kommt nur noch eine z-Komponente dazu.



Höhenschnittpunkt: Du brauchst einen Vektor, der senkrecht au eine Seite steht. Zweidimensional gilt: Der Vektor  [mm] \vektor{- b \\ a} [/mm] (und ein Vielfaches davon) steht senkrecht auf dem Vektor [mm] \vektor{a \\ b}. [/mm] Somit:

Suche [mm] \overrightarrow{h_1} [/mm] senkrecht zu [mm] \overrightarrow{AB}. [/mm]
Gib die Gerade an, die in diese Richtung durch C geht. Auf dieser liegt. [mm] h_c. [/mm] Mache das selbe mit [mm] \overrightarrow{h_2} [/mm] senkrecht zu [mm] \overrightarrow{AC}. [/mm] gib die Gerade [mm] h_2 [/mm] an, die durch B geht. Auf ihr liegt [mm] h_b. [/mm] Wo wich die beiden Geraden schneiden, ist der Höhenschnittpunkt.

Dein letztes Problem müsstest du selber herausfinden können, wenn du die obigen Überlegungen nachvollziehen konntest.



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