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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $v_{1}\ne [/mm] 0$ in [mm] $V=\IR^{3}$ [/mm] und sei $f$ in [mm] $End_{\IR}(V)$ [/mm] eine Drehung durch [mm] $\Phi$ [/mm] mit Achse [mm] $\IRv_{1}$. [/mm] zeige, dass $det f = 1 $. |
Hallo,
[mm] $v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{3}$ [/mm] sind orthogonal zu [mm] $v_{1}$
[/mm]
Ich weiss dass ich die Matrix mit sin und cos füllen muss so dass dann bei der Determinante die Identität [mm] $cos^{2}+sin^{2}=1$ [/mm] rauskommt. Aber dann habe ich $f$ in [mm] $End_{\IR}(V)$ [/mm] nicht verwendet und wohl was falsch gemacht?
Ich habe für meine Matrix raus: [mm] $\vektor{sin(\phi) & 0 & -cos(\phi) \\ 1 & 1 & 1 \\ cos(\phi) & 0 & sin(\phi)}$
[/mm]
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Sei [mm]v_{1}\ne 0[/mm] in [mm]V=\IR^{3}[/mm] und sei [mm]f[/mm] in [mm]End_{\IR}(V)[/mm] eine
> Drehung durch [mm]\Phi[/mm] mit Achse [mm]\IR v_{1}[/mm]. zeige, dass [mm]det f = 1 [/mm].
>
> Hallo,
>
> [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] sind orthogonal zu [mm]v_{1}[/mm]
>
> Ich weiss dass ich die Matrix mit sin und cos füllen muss
> so dass dann bei der Determinante die Identität
> [mm]cos^{2}+sin^{2}=1[/mm] rauskommt. Aber dann habe ich [mm]f[/mm] in
> [mm]End_{\IR}(V)[/mm] nicht verwendet und wohl was falsch gemacht?
>
> Ich habe für meine Matrix raus: [mm]\vektor{sin(\phi) & 0 & -cos(\phi) \\ 1 & 1 & 1 \\ cos(\phi) & 0 & sin(\phi)}[/mm]
Dies ist keine Drehungsmatrix.
Wenn die erste Achse [mm] (x_1-Achse) [/mm] Drehachse sein soll,
muss ein auf dieser liegender Punkt P = [mm] \pmat{x_1\\0\\0} [/mm] auf sich
selber abgebildet werden. Daraus kann man schließen,
dass die Drehmatrix so aussehen muss:
[mm] \pmat{1&...&...\\0&...&...\\0&...&...}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Al-Chwarizmi,
[mm] $\vektor{1& 0 & 0 \\ 0 &sin(\phi) & -cos(\phi) \\ 0 & cos(\phi) & sin(\phi)}$
[/mm]
?
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> [mm]\vektor{1& 0 & 0 \\ 0 &sin(\phi) & -cos(\phi) \\ 0 & cos(\phi) & sin(\phi)}[/mm]
Das wäre eine solche Drehmatrix. Gezeigt werden soll, dass die Determinante 1 ist. Das ist aber klar wegen Laplace-Entwicklung nach der 1. Spalte. (die [mm] 2\times2 [/mm] Matrix unten rechts ist eine Drehmatrix für Vektoren aus dem [mm] \IR^2 [/mm] und hat Determinante 1)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Di 08.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Das wäre eine solche Drehmatrix.
OK. Es kommt ja auch auf den Drehsinn an. Aber nur nach einer Drehung gefragt wurde, wäre ich ja damit fertig.
Danke!
Gruss
kushkush
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> Hallo kushkush,
> > [mm]\vektor{1& 0 & 0 \\ 0 &sin(\phi) & -cos(\phi) \\ 0 & cos(\phi) & sin(\phi)}[/mm]
>
> Das wäre eine solche Drehmatrix. Gezeigt werden soll, dass
> die Determinante 1 ist. Das ist aber klar wegen
> Laplace-Entwicklung nach der 1. Spalte. (die [mm]2\times2[/mm]
> Matrix unten rechts ist eine Drehmatrix für Vektoren aus
> dem [mm]\IR^2[/mm] und hat Determinante 1)
>
> Gruß
Hallo,
wenn [mm] \phi [/mm] wirklich der Drehwinkel (aus der Ruhelage heraus)
sein soll, dann sollte die Drehung mit [mm] \phi=0 [/mm] der Identität
entsprechen (mit der Einheitsmatrix als Abbildungsmatrix).
Deshalb sollten in der Hauptdiagonale die Cosinüsse  stehen !
LG Al-Chw.
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