Drehungen des Würfels < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich muss erstmal versuchen, die Aufgabe so genau es geht zu beschreiben.
gegeben ist ein Würfel. Auf den Ecken des Würfels werden je 2 Fliegen und 2 Bienen platziert, die ununterscheidbar voneinander sind. Bis auf Drehung des Würfels, wie viele Wege gibt es, um die Insekten zu platzieren.
Da ich eben schonmal so eine Aufgabe hatte, hab ich mir gedacht ich wende das selbe Schema nochmal darauf an.
Dann wollen wir mal:
Die Drehgruppe eines Würfels ist isomorph zu S4. D.h es gibt 24 Drehungen.
Ich kann drehen um die Flächenachse; die Achse die 2 ggüliegende Flächen in ihrem Mittelpunkt verbindet
Ich kann drehen um die Kantenachse; die 2 ggüliegende Kanten in ihrem Mittelpunkt verbindet
Ich kann drehen um die Eckenachse, die 2 ggüliegende Ecken miteinander verbindet.
Flächenachsen gibt es 3, jeweils um 90,180,270°
Kantenachsen gibt es 6, gedreht wird um 180°
Eckenachsen gibt es 4, gedreht wird um 120,240°
Davon ausgegangen, dass die Art des Insektes wichtig ist (das gibt die Aufgabe für mich so nicht her), sprich es also nicht egal ist ob eine Biene oder Fliege da sitzt, heißt das für mich folgendes:
Flächendrehungen:
90°=270° : 0 Fixpunkte
180°: Hier gilt die Bedingung, dass Paare von Ecken gleich sein müssen, damit ein Fixpunkt entsteht. Es gibt 4 Paare. D.h das erste Insektenpaar hat 4 Auswahlmöglichkeiten, das zweite nur 3. Das wären (glaube ich) 12 Möglichkeiten.
Kantendrehungen:
Ähnlich wie eben liefert sich die selben Bedingungen, damit also auch 12 Fixpunkte.
Eckendrehungen:
Hier gelten die Bedingungen, dass jeweils die Drehecken gleich bleiben, und sonst 3 Ecken gleich sein müssen, damit ein Fixpunkt entsteht. Hier dürfte es also keinen FP geben.
Identität:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 Insekten auf dem Würfel zu platzieren?
Das erste Insekt hat 8 Ecken zur Auswahl. Das zweite 7, das dritte 6 und das letzte 5. Das ergäbe eine Gesamtzahl von 1680.
Jetzt das zusammenfassen:
Ich habe 3 Flächendrehungen mit je 12 Fixpunkten, und 6 Kantendrehungen mit je 12 Fixpunkten. Dazu die Fixpunkte der Identität:
1680+9*12=1788
Das ist aber kein Vielfaches von 24, was eig. ein Indikator dafür ist, dass ich mich verrechnet habe, ich weiß aber nicht wo.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Flächen und Kantendrehungen hab ich auch so raus. Die Eckdrehungen habe ich jetzt nicht nachgeprüft, aber du klingst da sehr sicher, also sollte das wohl auch stimmen.
Nun zur Identität. Deine Berechnungen geben an, 4 Insekten auf 8 Ecken zu verteilen, wenn alle Insekten nicht unterscheidbar sind, d.h. wenn du z.B. vier verschiedene Insekten hättest. Aber bei dir sind ja zwei Bienen und zwei Fliegen jeweils gleich. Vielleicht ist das mit einem Quadrat einfacher, dort hast du es ja auch schon m anderen Thread richtig gemacht. Hättest du im anderen Thread so gerechnet wie hier, hättest du folgendes geschrieben: "Das erste Insekt hat 4 Möglichkeiten, das zweite 3, das dritte 2 und das letzte 1. Also 24 Möglichkeiten.". Und analog musst du das hier auch machen. Hier ist es nur etwas komplizierter, aber schauen wir mal.
Im Fall des Quadrates war die Antwort [mm] \vektor{4 \\ 2}=6=\vektor{4 \\ 2}*\vektor{2 \\ 2}, [/mm] oder in Worten: Auf wie viele Arten kann man 2 Bienen auf 4 Ecken verteilen und dann noch 2 Fliegen auf 2 Ecken. Hier geht das analog, die Lösung ist [mm] \vektor{8 \\ 2}*\ldots [/mm] wobei du den zweiten Faktor selber herausfindest darfst. :)
Die Summe ist dann durch 24 teilbar, was auch ein gutes Indiz dafür ist, dass du dich bei den Eckendrehungen nicht vertan hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 So 16.11.2014 | | Autor: | Killercat |
der zweite Faktor dürfte dann wohl 6 über 2 sein. Ich komme auf jedenfall auf ein Summenergebnis von 528, was einem Endergebnis von 22 entsprechen würde.
Ich danke dir nochmal :)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 So 16.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! :) Genau das hab ich auch raus. Aber wie gesagt, die Eckendrehungen habe ich (aus Faulheit) nicht geprüft. Dazu müsste ich mir erst einen Würfel basteln, um das zu verifizieren. ;) Aber wenn du dir da sicher bist, sollte das Ergebnis stimmen.
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