Drehmoment/Trägheitsmoment < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Leia |
| Aufgabe | In einem Saloon im Wilden Westen schießt ein Cowboy mit seinem Peacemaker in eine Schwingtüre, um sie für seinen Freund zu öffnen. Die Kugel bleibt 1m vom Scharnier entfernt in der Tür stecken.
(Geschoßgeschwindigkeit 500m/s, Geschoßmasse 8g, Trägheitsmoment der Tür bezogen auf eine Rotation um ihre Aufhängepunkte 10kgm2, Federkonstante der Torsionsfeder des Scharniers 1Nm)
a) Wie schnell bewegt sich die Tür unmittelbar nach dem Geschoßeinschlag?
b) Wie weit geht sie auf? |
hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Meine Versuche zu a):
Zuerst dachte ich, ich kann da was mit Impulserhaltung machen, also
[mm] Impuls_{Kugel} [/mm] = [mm] Drehimpuls_{Tuer},
[/mm]
aber der Drehimpuls ist ja L = [mm] \vec{r} [/mm] X [mm] \vec{v} [/mm] und um ein Kreuzprodukt zu bilden, brauch ich doch drei Komponenten, oder? Außerdem hab ich ja die Masse der Tür nicht.
Dann hab ich es mit Energieerhaltung versucht:
[mm] E_{kin (Kugel)} [/mm] = [mm] E_{kin (Tuer)} [/mm] + [mm] E_{rot (Tuer)}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{2}m_{Kugel} v_{Kugel}^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}m_{Tuer} v_{Tuer}^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}J\bruch{v_{Tuer}^{2}}{R^{2}}
[/mm]
[mm] v_{Tuer} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{m_{Kugel}v_{Kugel}^{2}}m_{Tuer}+{\bruch{J}{R^{2}}}} [/mm]
[mm] (m_{Tuer}+\bruch{J}{R^{2}} [/mm] das steht eigentlich alles unter dem Bruchstrich, hat aber irgendwie nicht geklappt, sorry)
Aber da fehlt mir ja wieder die Masse der Tür, oder muss ich hier die Masse der Kugel einsetzen, und wenn ja warum?
Bei b) hab ich gar keine Ahnung, wie ich das angehen soll :(
Kann mir bitte jemand helfen?
Viele Grüße
Leia
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Hallo!
Die Impulserhaltung alleine ist schon richtig. Die Energieerhaltung kannst du für den Einschlag vergessen. Die Begründung ist folgende:
Bei nem vollkommen elastischen Stoß treiben die Stoßpartner nach dem Stoß auseinander, hier gilt auch Energieerhaltung.
Beim vollkommen inelastischen Stoß kleben die Partner nach dem Stoß zusammen, hier wurde Verformungsenergie von der kin. Energie abgezwackt.
Du kannst die Kugel mal in einen 1kg-Holzblock einschlagen lassen, und die Geschwindigkeit berechnen, mit der der Block wegrutscht. Mit Energieerhaltung bekommst du ne höhere, falsche geschwindigkeit raus.
So, dein Ansatz ist schon gut.
Der Drehimpuls der Kugel ist einfach [mm] $r*v*\sin(\alpha)(=\vec [/mm] r [mm] \times \vec [/mm] v)$. Da sie senkrecht in die Tür einschlägt, ist das einfach nur $r*v$ . Das ist einfacher, oder?
Das Trägheitsmoment der Tür ist bekannt. Meinetwegen kannst du auch das Trägheitsmoment von tür+Kugel berechnen, dann kommt ja noch ein [mm] mr^2 [/mm] dazu.
Jetzt weißt du generell, daß p=mv gilt. Bei der Rotation ist es ganz ähnlich: [mm] L=J\omega
[/mm]
Du bekommst also das [mm] \omega [/mm] raus.
Ab jetzt kannst du den Energiesatz verwenden. Beim Federpendel gilt einerseits beim Nulldurchgang [mm] E=\frac{1}{2}mv^2 [/mm] , andererseits, wenn es voll ausgelenkt ist [mm] E=\frac{1}{2}Dx^2 [/mm] .
Diese Formeln kannst du 1:1 in die Rotation übersetzen, und dann ist das kein Problem mehr. Noch ne Anmerkung: Deine Federkonstante hat eigentlich die Einheit Nm/rad wobei rad eben für Bogenmaß steht. Das Bogenmaß ist aber eigentlich einheitenlos, sodaß man das rad gerne wegläßt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Leia |
Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich hab jetzt nur noch eine kleine Frage dazu:
> Hallo!
>
> Die Impulserhaltung alleine ist schon richtig. Die
> Energieerhaltung kannst du für den Einschlag vergessen. Die
> Begründung ist folgende:
>
> Bei nem vollkommen elastischen Stoß treiben die Stoßpartner
> nach dem Stoß auseinander, hier gilt auch
> Energieerhaltung.
> Beim vollkommen inelastischen Stoß kleben die Partner nach
> dem Stoß zusammen, hier wurde Verformungsenergie von der
> kin. Energie abgezwackt.
>
> Du kannst die Kugel mal in einen 1kg-Holzblock einschlagen
> lassen, und die Geschwindigkeit berechnen, mit der der
> Block wegrutscht. Mit Energieerhaltung bekommst du ne
> höhere, falsche geschwindigkeit raus.
>
> So, dein Ansatz ist schon gut.
>
> Der Drehimpuls der Kugel ist einfach [mm]r*v*\sin(\alpha)(=\vec r \times \vec v)[/mm].
Der Drehimpuls ist doch aber [mm]\vec r \times \vec p[/mm], oder? Das hatte ich bei mir oben auch schon falsch, tut mir Leid. Muss ich deshalb jetzt bei [mm]r*v*\sin(\alpha)[/mm] auch noch ein m ranmultiplizieren? Und wenn ja, dann ist das doch die Masse der Tür, oder? Dann hätt ich ja aber zwei Unbekannte: das v, das ich ja rauskriegen will, und die Masse der Tür.
Und noch was: Woher weiß ich, dass [mm]\vec r \times \vec v=r*v*\sin(\alpha)[/mm] ist? Kann man das irgendwie begründen, oder ist das halt so?
> Da sie senkrecht in die Tür einschlägt, ist das einfach nur
> [mm]r*v[/mm] . Das ist einfacher, oder?
Ja, das ist wirklich einfacher. Muss hier jetzt auch noch ein m dazu, wie ich das oben schon gefragt hab? Und was ist jetzt eigentlich das r? Ist das der Radius, also 1m?
>
> Das Trägheitsmoment der Tür ist bekannt. Meinetwegen kannst
> du auch das Trägheitsmoment von tür+Kugel berechnen, dann
> kommt ja noch ein [mm]mr^2[/mm] dazu.
>
>
>
> Jetzt weißt du generell, daß p=mv gilt. Bei der Rotation
> ist es ganz ähnlich: [mm]L=J\omega[/mm]
>
> Du bekommst also das [mm]\omega[/mm] raus.
>
> Ab jetzt kannst du den Energiesatz verwenden. Beim
> Federpendel gilt einerseits beim Nulldurchgang
> [mm]E=\frac{1}{2}mv^2[/mm] , andererseits, wenn es voll ausgelenkt
> ist [mm]E=\frac{1}{2}Dx^2[/mm] .
>
> Diese Formeln kannst du 1:1 in die Rotation übersetzen,
> und dann ist das kein Problem mehr. Noch ne Anmerkung:
> Deine Federkonstante hat eigentlich die Einheit Nm/rad
> wobei rad eben für Bogenmaß steht. Das Bogenmaß ist aber
> eigentlich einheitenlos, sodaß man das rad gerne wegläßt.
Ich hoffe, meine Fragen sind jetzt nicht allzu blöd.
Viele Grüße
Leia
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Hallo!
Du hast recht, da fehlt überall ein m.
Jetzt überleg mal. Was bewegt sich vor dem Stoß alles? Doch nur die Kugel. Wenn die in die Tür einschlägt, überträgt die ihren Impuls p auf die Tür im Abstand r von der Drehachse der Tür. Sie überträgt also $L=pr$
Zu dem [mm] \vec{a}\times\vec{b}=ab\sin(\angle(\vec{a}\vec{b}))
[/mm]
Sicherlich kann man das irgendwie beweisen. Aber du solltest dir das einfach nur merken, das reicht völlig.
Genauso wie [mm] \vec{a}\ast\vec{b}=ab\cos(\angle(\vec{a}\vec{b})) [/mm] , aber das ist das Skalarprodukt, das sollte dir ja bekannt sein.
Übrigens, [mm] |\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] ist die Fläche des Parallelograms, das die beiden Vektoren bilden. Und falls du dich mit Matrizen auskennst, die Determinante ist gleichzeitig das Volumen des von den drei Spaltenvektoren aufgespannten "Spats"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 25.11.2007 | | Autor: | Leia |
> Hallo!
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> Du hast recht, da fehlt überall ein m.
>
> Jetzt überleg mal. Was bewegt sich vor dem Stoß alles? Doch
> nur die Kugel. Wenn die in die Tür einschlägt, überträgt
> die ihren Impuls p auf die Tür im Abstand r von der
> Drehachse der Tür. Sie überträgt also [mm]L=pr[/mm]
d.h. ich habe jetzt [mm]L=pr[/mm] und [mm]p=m_{K}v_{k}[/mm] (K=Kugel)
also [mm]L=rm_{K}v_{k}=Jw[/mm]
[mm] w=\bruch{rm_{K}v_{k}}{J} [/mm] und [mm]v=w*r[/mm]
[mm] v=\bruch{r^{2}m_{K}v_{k}}{J}
[/mm]
(Und wenn ich jetzt für das Trägheitsmoment noch das gesamt von Tür+Kugel einsetzen will, ist das dann [mm] J_{gesamt}=J_{Tuer} [/mm] + [mm] m_{Kugel}*r [/mm] ?)
Aber wenn das jetzt richtig ist, dann darf ich nicht sagen [mm] Impuls_{Kugel}=Drehimpuls_{Tuer}, [/mm] oder? Weil ich habe ja [mm]L=pr[/mm], und dann müsste sonst r=1 sein. Ist es in diesem Beisüiel zwar auch, aber wenn r eben nicht mehr 1 ist, da ist [mm] Impuls_{Kugel}\not=Drehimpuls_{Tuer}, [/mm] oder?
Und für die Energie hab ich dann:
[mm]E_{kin}=\bruch{1}{2}mv^{2}=\bruch{1}{2}Dx^{2}=E_{spann}[/mm]
also [mm]x=\wurzel{\bruch{mv^{2}}{D}}[/mm]
und das x ist dann eigentlich der Abstand, um dem die Feder im Bezug auf ihre Ruhelage verlängert/verkürzt wird. Ist das jetzt auch schon die Antwort darauf, wie wei die Tür aufgeht, oder muss das jetzt noch irgendwie "weiterverarbeitet" werden"
>
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> Zu dem [mm]\vec{a}\times\vec{b}=ab\sin(\angle(\vec{a}\vec{b}))[/mm]
>
> Sicherlich kann man das irgendwie beweisen. Aber du
> solltest dir das einfach nur merken, das reicht völlig.
>
> Genauso wie
> [mm]\vec{a}\ast\vec{b}=ab\cos(\angle(\vec{a}\vec{b}))[/mm] , aber
> das ist das Skalarprodukt, das sollte dir ja bekannt sein.
>
> Übrigens, [mm]|\vec{a}\times\vec{b}|[/mm] ist die Fläche des
> Parallelograms, das die beiden Vektoren bilden. Und falls
> du dich mit Matrizen auskennst, die Determinante ist
> gleichzeitig das Volumen des von den drei Spaltenvektoren
> aufgespannten "Spats"
Damit fangen wir in Mathe jetzt gerade erst an, deshalb kenn ich mich noch nicht so ganz gut aus. Aber vielen Dank für die Info. Wenn ich darüber etwas mehr gelernt hab, werd ich mir das nochmal anschauen.
Viele Grüße
Leia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mo 26.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Leia!
> > Du hast recht, da fehlt überall ein m.
> >
> > Jetzt überleg mal. Was bewegt sich vor dem Stoß alles? Doch
> > nur die Kugel. Wenn die in die Tür einschlägt, überträgt
> > die ihren Impuls p auf die Tür im Abstand r von der
> > Drehachse der Tür. Sie überträgt also [mm]L=pr[/mm]
>
> d.h. ich habe jetzt [mm]L=pr[/mm] und [mm]p=m_{K}v_{k}[/mm] (K=Kugel)
>
> also [mm]L=rm_{K}v_{k}=Jw[/mm]
> [mm]w=\bruch{rm_{K}v_{k}}{J}[/mm] und [mm]v=w*r[/mm]
> [mm]v=\bruch{r^{2}m_{K}v_{k}}{J}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das v ist die Geschwindigkeit der Tür in 1m Abstand von der Drehachse, denn das r in [mm]v=w*r[/mm] ist dieser Abstand. Das ist also eigentlich ein anderes r als das in der Formel für L. Das v brauchst du aber gar nicht, nur das [mm]\omega[/mm] (siehe unten).
> (Und wenn ich jetzt für das Trägheitsmoment noch das gesamt
> von Tür+Kugel einsetzen will, ist das dann
> [mm]J_{gesamt}=J_{Tuer}[/mm] + [mm]m_{Kugel}*r[/mm] ?)
Fast. Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes (der Kugel) im Abstand r von der Drehachse ist [mm]m_{\text{Kugel}}*r^2[/mm].
Das siehst du auch an den Einheiten: das Trägheitsmoment hat [mm]\mathrm{kg*m}^2[/mm], aber [mm]m_{\text{Kugel}}*r[/mm] hat
[mm]\mathrm{kg*m}[/mm]. Das ist wie Äpfel und Birnen addieren 
Wenn du die Zahlen einsetzt, siehst du auch, dass der Anteil der Kugel ziemlich klein ist - kleiner als ein zehntel Prozent.
> Aber wenn das jetzt richtig ist, dann darf ich nicht sagen
> [mm]Impuls_{Kugel}=Drehimpuls_{Tuer},[/mm] oder? Weil ich habe ja
> [mm]L=pr[/mm], und dann müsste sonst r=1 sein. Ist es in diesem
> Beisüiel zwar auch, aber wenn r eben nicht mehr 1 ist, da
> ist [mm]Impuls_{Kugel}\not=Drehimpuls_{Tuer},[/mm] oder?
Auch hier wieder: das sind zwei verschiedene Sachen. Was du sagst ist:
[mm]\text{Drehimpuls}_{\text{Kugel}}=\text{Drehimpuls}_{\text{Tuer}}[/mm]
und der Drehimpuls der Kugel (bezogen auf die Drehachse der Tür) ist eben [mm]p*r[/mm].
> Und für die Energie hab ich dann:
>
> [mm]E_{kin}=\bruch{1}{2}mv^{2}=\bruch{1}{2}Dx^{2}=E_{spann}[/mm]
Nein. Das wäre die Energie, wenn die gesamte Masse der Tür in einem Punkt konzentriert wäre. Für einen Körper mit Trägheitsmoment J ist die Rotationsenergie
[mm] E_{\text{rot}} =\bruch{1}{2}J\omega^{2} [/mm]
Ähnliches gilt für die Feder: da steht, dass es eine Torsionsfeder ist, da sieht das Hookesche Gesetz etwas anders aus:
[mm] M = D*\phi [/mm]
wobei [mm]\phi[/mm] der Winkel ist, um den die Feder gedreht wird, und M das Drehmoment.
Auch hier ist die Einheit wieder ein Hinweis: bei den normalen Federn hat die Federkonstante die Einheit N/m; hier sind es Nm. (Hier ist mir nicht klar, ob dabei der Winkel in Grad oder in rad anzugeben ist, da nichts dabeisteht, nehme ich mal rad an.)
Die potentielle Energie der Feder ist
[mm] E_{\text{spann}} = \bruch{1}{2} D \phi^2[/mm]
> also [mm]x=\wurzel{\bruch{mv^{2}}{D}}[/mm]
>
> und das x ist dann eigentlich der Abstand, um dem die Feder
> im Bezug auf ihre Ruhelage verlängert/verkürzt wird. Ist
> das jetzt auch schon die Antwort darauf, wie wei die Tür
> aufgeht, oder muss das jetzt noch irgendwie
> "weiterverarbeitet" werden"
Im Prinzip ist das richtig, nur bekommst du jetzt den Winkel heraus, um den sich die Tür öffnet (ind rad, für die Grade musst du mit [mm]180^\circ/\pi[/mm] malnehmen).
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Rainer hat dir ja schon geantwortet.
Was ich zur Energie geschrieben habe, war so gemeint: Normalerweise kennst du dich bei gradlinigen Bewegungen recht gut aus, aber bei der Rotation tun sich viele Leute sehr schwer. Dabei kann man die Formeln für beide Bewegungsarten nebeneinander schreiben, und findet ziemlich viele Übereinstimmungen. Masse wird zu Trägheitsmoment, Impuls zu Drehimpuls, Strecke zu Winkel etc. Das geht sogar so weit, daß die Formeln z.B. für die Energie gleich aussehen. Man hat eben Masse, Geschwindigkeit, Strecke und Federkonstante gegen Trägheit, Winkelgeschwindigkeit, Winkel und Torsionsfederkonstante ausgetauscht. Du kannst für ne beschleunigte Drehbewegung z.B auch schreiben [mm] \phi(t)=\phi_0+\omega_0*t+1/2\alpha*t^2 [/mm] , das sollte dir bekannt vorkommen. Natürlich gibts noch ein paar Unterschiede, aber prinzipiell gibts viele Parallelen.
Daher ein guter Tipp: Leg dir so ne Tabelle an, die zu jeder Formel der gradlinigen BEwegung das Pendant der Rotation angibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Di 27.11.2007 | | Autor: | Leia |
Hallo,
vielen Dank euch beiden für die Hilfe.
Das mit der Tabelle ist ne gute Idee. Werd ich auf jeden Fall machen.
Viele Grüße
Leia
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