Dreh- und Spiegelungsmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe mich die letzten Tagen bzw. Wochen mit den Thema Dreh- und Spiegelungsmatrizen beschäftigt. Ich bin jetzt eigentlich mit dem Thema fertig und habe mir zum Schluss eine eigene Zusammenfassung geschrieben.
Könnnt ihr euch die Zusammenfassung anschauen und gegebenfalls Fehler korrigieren? Für Verbesserungsvorschläge (sätze besser formulieren usw.) bin ich auch dankbar.
meine Zusammenfassung könnt ihr euch ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") hier runterladen.
Meine Quellen sind Wikipedia:
![[]](/images/popup.gif) Drehmatrix
Spiegelungsmatrix
und dieses Forum. |
Bei Spiegelungsmatrizen habe ich nur die Spiegelung in der Ebene betrachtet, weil wir nur Spiegelung in [mm] \IR^2 [/mm] behandelt haben.
Da es wahrscheinlich für eine Person allein zu viel ist die gesamte Zusammenfassung zu korrigieren, habe ich mir gedacht, dass eine Person immer eine bestimmte Seite korrigiert.
So wäre das dann nicht zu viel Arbeit.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 16.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Teil ist ja einfach Abschrieb, und deshalb richtig,
deine Beispiele schlecht.
Du unterscheidest nicht zwischen Drehung von Ortsvektoren , also Punkten und Drehung von Vektoren.
Wenn man einfach einen Vektor um [mm] \alpha [/mm] dreht, bleibt sein Stützpunkt erhalten. wenn man einen Vektor mit Aufpunkt nicht (0,0) dreht muss man anfangs und Endpunkt drehen, du machst keinen Unterschied, wie man an deiner Zeichnung zur Reihenfolge von Verschiebung und Drehung sieht.
dasselbe bei der Spiegelung und bei der Drehung einer Geraden in 3 d, diese willst du nicht um eine Achse drehen, sondern einfach um einen Winkel wobei ein Punkt der Geraden fest bleibt, den du a nennst.
Ausserdem ist keiner deiner Matrices begründet, sie stehen da einfach als Formeln, die man glauben muss.
Grußß leduart
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Wie Leduard bereits feststellt, solltest du sowohl die Formel der Dreh- als auch der Spiegelungsmatrix mit Hilfe einer Skizze erläutern.
Du bemerkst selbst auf der Seite 2: "Die Drehung eines Ortsvektors um einen bestimmten Winkel in einem Koordinatensystem ist äquivalent zur Drehung des Koordinatensystems um den gleichen Winkel in umgekehrter Richtung (Drehung um negativen Winkel)."
Infolge dessen kannst du dir die gesamten Erklärungen und Beispiele mit gedrehten Koordinatensystemen sowie aktiven und passiven Drehungen schenken, man kann alles auf stehende Koordinatensysteme zurückführen, und nur das muss gesagt werden. Das Benutzen von verschiedenen, aber ähnlichen Formeln verwirrt sonst nur.
Die 2. Matrix auf Seite 1 sollte nicht heißen:
[mm] R_\alpha [/mm] = [mm] \pmat{ cos(-\alpha) & -sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) & cos(-\alpha) }, [/mm] denn [mm] R_\alpha [/mm] hast du doch direkt davor anders definiert.
Also:
[mm] R_{ \red{-} \alpha} [/mm] = [mm] \pmat{ cos(-\alpha) & -sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) & cos(-\alpha) }
[/mm]
Und weil immer [mm] cos(-\alpha)=cos(\alpha) [/mm] und [mm] sin(-\alpha)=-sin(\alpha) [/mm] ist, kann man dafür schreiben:
[mm] R_{ - \alpha} [/mm] = [mm] \pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ - sin(\alpha) & cos(\alpha) }
[/mm]
in schöner Übereinstimmung mit deiner passiven Drehung bzw. [mm] R_\alpha^{-1} [/mm] (Drehung und Rückdrehung sind invers zueinander).
Die Matrix [mm] R_n(\alpha) [/mm] direkt über der Überschrift "Drehung einer Geraden" wird nicht erklärt, noch wird sich irgend jemand dafür interessieren. Sie schreckt nur ab. Als Lehrer würde ich dich auffordern, sie mir in allen Einzelheiten zu erklären...
Die Drehung einer Geraden wird auch nicht richtig erklärt. Diese ist - wie erforderlich - mit Hilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors "aufgeschrieben". Warum drehst du nun genau um diesen Stützpunkt? Der ist doch gar nicht eindeutig festgelegt für diese Gerade und könnte auch völlig anders heißen, hier z.B. (5|1) statt (3|0). Genau so gut könntest du auch um (1|1) drehen, was gar nicht auf der Geraden liegt. So, wie du es aufschreibst, müsste die Überschrift zumindest lauten:"Drehung einer Geraden um den angegebenen Stützpunkt."
Bei der Spiegelung führst du gleich 2 verschiedene Matrizen ein, die sich aber entsprechen, und schreibst:
"Bei der Spiegelungsmatrix [mm] S_\alpha [/mm] wird der Vektor 𝑝 an der Ursprungsgeraden mit dem Neigungswinkel 𝛼/2 gespiegelt. Bei der Spiegelungsmatrix [mm] S_{2\alpha} [/mm] wird der Vektor 𝑝 an der Ursprungsgeraden mit dem Neigungswinkel 𝛼 gespiegelt."
Jetzt fehlen noch die nächsten Matrizen
[mm] S_{4\alpha}= \pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & - cos(2\alpha) }, [/mm]
[mm] S_{6\alpha}= \pmat{ cos(3\alpha) & sin(3\alpha) \\ sin(3\alpha) & - cos(3\alpha) } [/mm] usw. mit dem Text
Bei der Spiegelungsmatrix [mm] S_{4\alpha} [/mm] wird der Vektor 𝑝 an der Ursprungsgeraden mit dem Neigungswinkel 2𝛼 gespiegelt. Bei der Spiegelungsmatrix [mm] S_{6\alpha} [/mm] wird der Vektor 𝑝 an der Ursprungsgeraden mit dem Neigungswinkel 3𝛼 gespiegelt...
Warum nicht einfach
[mm] S_{\alpha}= \pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & - cos(2\alpha) } [/mm] spiegelt an der Ursprungsgeraden, die den Steigungswinkel [mm] \alpha [/mm] hat? Und fertig.
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> Die Drehung einer Geraden wird auch nicht richtig erklärt.
> Diese ist - wie erforderlich - mit Hilfe eines
> Stützvektors und eines Richtungsvektors "aufgeschrieben".
> Warum drehst du nun genau um diesen Stützpunkt? Der ist
> doch gar nicht eindeutig festgelegt für diese Gerade und
> könnte auch völlig anders heißen, hier z.B. (5|1) statt
> (3|0). Genau so gut könntest du auch um (1|1) drehen, was
> gar nicht auf der Geraden liegt. So, wie du es
> aufschreibst, müsste die Überschrift zumindest
> lauten:"Drehung einer Geraden um den angegebenen
> Stützpunkt."
Ich verstehe das nicht ganz. Wie hätte ich die Drehung einer Geraden erklären sollen? Kannst du oder jemand anderes dies mathematisch richtig formulieren?
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Du hast die Drehung richtig durchgeführt.
Es wird aber nicht klar, warum du die Gerade gerade (schönes Wortspiel) um den Punkt (3|0) drehst. Dieser Punkt hat überhaupt keine besondere Bedeutung, er liegt, wie unendlich viele andere Punkte auch, auf der Geraden, und man bekommt den Eindruck, dass man um ihn drehen MÜSSTE, nur weil er gerade zufällig(!) als Stützpunkt genommen wurde.
Die Drehung der Geraden um den Ursprung mit Winkel [mm] \alpha [/mm] bekommst du, indem du [mm] R_\alpha [/mm] mit der gesamten Vektordarstellung [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] multiplizierst.
Wenn du die Gesamte Gerade um den Punkt (4|7) drehen willst, berechnest du [mm] R_\alpha*( \vektor{3 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 7}) [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 7}.
[/mm]
Nach deiner Darstellung hat man den Eindruck, als sei nur eine Drehung um (3|0) möglich, als müsse der Drehpunkt auf der Geraden liegen und dann auch noch der Stützpunkt sein.
Einerseits erläuterst du unnötige Operationen wie die passive Drehung ausführlich an Beispielen, andererseits schränkst du Drehungen einer Geraden auf den Stützpunkt als Drehpunkt ein.
Zum Vergleich:
Um die schriftliche Multiplikation von 365 * 417 zu erklären, könntest du z.B. sagen: Rechne 365*400 aus, 365*10 und 365*7 und addiere die Ergebnisse (das entspricht der Drehung).
Um die schriftliche Multiplikation von 365 * (-417) zu erklären, könntest du anschließend sagen: Rechne 365*(-400) aus, 365*(-10) und 365*(-7) und addiere die Ergebnisse (das entspricht der passiven Drehung). Viel einfacher ist es aber, zu sagen: Lass das - weg, rechne wie vorher und füge das - wieder an das Ergebnis (das entspricht der Bemerkung "passive Drehung entspricht einer negativen aktiven Drehung).
Dann würdest du sagen. Man multipliziert 365, indem man 365*65 rechnet, und 412, indem man 412*12 rechnet und 773, indem man 773*73 rechnet, als müsse man eine dreistellige Zahl immer mit der Zahl aus beiden Endziffern multiplizieren (das entspricht deiner Geradendrehung).
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> Die Drehung der Geraden um den Ursprung mit Winkel [mm]\alpha[/mm]
> bekommst du, indem du [mm]R_\alpha[/mm] mit der gesamten
> Vektordarstellung [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm] + r [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]
> multiplizierst.
Ich weiß nicht was du hier mit Drehung um den Ursprung meinst. Für mich ist eine Drehung um den Ursprung, wenn eine Gerade durch den Ursprung geht und nach der Drehung weiterhin durch den ursprung geht. Das folgende Bild ist für mich eine Drehung um den ursprung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was meinst du jetzt mit Drehung um den Ursprung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> > Die Drehung der Geraden um den Ursprung mit Winkel [mm]\alpha[/mm]
> > bekommst du, indem du [mm]R_\alpha[/mm] mit der gesamten
> > Vektordarstellung [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm] + r [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]
> > multiplizierst.
>
> Ich weiß nicht was du hier mit Drehung um den Ursprung
> meinst.
AUTSCH!
> Für mich ist eine Drehung um den Ursprung, wenn
> eine Gerade durch den Ursprung geht und nach der Drehung
> weiterhin durch den ursprung geht. Das folgende Bild ist
> für mich eine Drehung um den ursprung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Was meinst du jetzt mit Drehung um den Ursprung?
Fangen wir ganz von vorne an. Bleiben wir im [mm] \IR^2.
[/mm]
Wenn wir uns den Punkt (!) (a|b) in der Vektorrechnung zugänglich machen wollen, bilden wir den Ortsvektor
[mm] \vektor{a \\ b}.
[/mm]
Nun können wir Drehungen UM DEN URSPRUNG!!!!! mathematisch leicht berechnen, indem wir die Matrix [mm] R_\alpha [/mm] damit multiplizieren. Der Ergebnisvektor ist der Ortsvektor des UM DEN URSPRUNG gedrehten Punktes (a|b).
Drehmatrizen drehen NUR UM DEN URSPRUNG, und zwar alle Punkte der Ebene (und ggf. des Raumes [mm] \IR^3). [/mm] Deshalb ist deine Zeichnung hier auch genau richtig! Alle Punkte auf der Ausgangsgeraden werden mit [mm] \alpha [/mm] um den Ursprung gedreht, also die ganze Gerade auch.
Wie kann man dann die ganze Ebene mathematisch um einen anderen Punkt (r|s) drehen?
Man lässt das Koordinatensystem liegen, stellt sich die Ebene als eine Folie mit den eingezeichneten Punkten vor und verschiebt diese Folie nun parallel so, dass (r|s) auf dem Ursprung liegt. Dann dreht man mit [mm] \alpha [/mm] um den neuen Ursprung. Nun hat sich alles um das ursprüngliche (r|s) gedreht, aber dieser Punkt hätte da liegen bleiben müssen, wo er war. Also schieben wir ihn - und mit ihm die ganze Folie - wieder auf seinen Ursprungsort zurück.
Deshalb musst du zuerst von allen Ortsvektoren [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] abziehen, dann das ganze mit [mm] R_\alpha [/mm] um den Ursprung drehen und anschließend [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] wieder hinzuaddieren.
Das hast du auch in deinen Ausführungen alles richtig mit dem Punkt (r|s)=(3|0) gemacht. Aber deine Ausführungen lesen sich so, als müsse man eine Gerade grundsätzlich um diesen Stützpunkt drehen, und das ist nicht der Fall.
Anders bei der Spiegelung: Die kann man mit Spiegelmatrizen nur an Geraden durch den Ursprung durchführen. Geht die Gerade nicht durch den Ursprung, ziehst du sie dahin, spiegelst daran und schiebst sie wieder an den Ausgangsort zurück. Hier kannst (aber musst du nicht) immer den Stützpunkt nehmen. Der liegt dann im Ursprung, bleibt beim Spiegeln dort liegen und wird dann wieder zurückgeschoben. Bei der Drehung bleibt nur ein besonderer Punkt, der Drehpunkt, an seinem Platz, und deshalb musst du den für die Verschiebungen nehmen. Bei der Spiegelung bleiben alle Punkte der Geraden auf ihrem Platz, und deshalb kannst du dir für die Verschiebungen einen beliebigen Punkt auf der Geraden aussuchen, also auch den Stützpunkt.
Versuche, meine Erklärungen zu verstehen und zu durchdringen, sonst hast du später Verständnisprobleme!
Nachtrag:
Natürlich kann man auch so vorgehen, wenn man (a|b) (oder ein ganzes Gebilde wie ein Dreieck D) um (r|s) drehen will:
1. Man dreht einfach alles um den Ursprung: [mm] R_\alpha*D. [/mm] (D steht stellvertretend für die Ortsvektoren des Gebildes.)
2. Nun ist das Dreieck wunschgemäß verdreht, seine Kanten zeigen in die gewünschten Richtungen, aber es liegt an der falschen Stelle, weil es ja nicht um (r|s) gedreht wurde.
Hätten wir es richtig gemacht, hätte (r|s) auf seinem Platz liegen bleiben müssen. Statt dessen ist (r|s) nach [mm] R_\alpha*\vektor{r \\ s} [/mm] gewandert.
3. Deshalb schieben wir nun die gesamte gedrehte Ebene und mit ihr das Dreieck von [mm] R_\alpha*\vektor{r \\ s} [/mm] nach [mm] \vektor{r \\ s} [/mm] zurück:
[mm] R_\alpha*D+\vektor{r \\ s}-R_\alpha*\vektor{r \\ s}
[/mm]
4. Das ist aber mathematisch gleichbedeutend mit [mm] R_\alpha*D+\vektor{r \\ s}-R_\alpha*\vektor{r \\ s}=R_\alpha*(D-\vektor{r \\ s})+\vektor{r \\ s} [/mm] und entspricht damit der obigen Beschreibung.
(Ich habe hier Ortsvektoren teilweise mit den Punkten des Raumes gleichgesetzt, es ist zu schwierig, das umzuschreiben.)
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Ich glaube wir reden aneinander vorbei. Mich verwirrt dieser Satz von dir:
> Die Drehung der Geraden um den Ursprung mit Winkel $ [mm] \alpha [/mm] $ bekommst du, indem du $ [mm] R_\alpha [/mm] $ mit der gesamten Vektordarstellung $ [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] $ + r $ [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] $ multiplizierst.
Du sagst also das die folgende Gleichung
[mm] R_\alpha*(\vektor{3 \\ 0}+r*\vektor{2 \\ 1})
[/mm]
eine drehung der Geraden um den Ursprung beschreibt. Meines Wissens nach ist das falsch. Richtig wäre meiner meinung nach die Gleichung:
[mm] \vektor{3 \\ 0}+r*R_\alpha*\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Welche Gleichung ist nun richtig? die von dir oder mir? und wieso?
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> Meines
> Wissens nach ist das falsch. Richtig wäre meiner meinung
> nach die Gleichung:
>
> [mm]\vektor{3 \\ 0}+r*R_\alpha*\vektor{2 \\ 1}[/mm]
>
> Welche Gleichung ist nun richtig? die von dir oder mir? und
> wieso?
Hier habe ich einen fehler gemacht. richtig wäre:
Meines Wissens nach ist das falsch. Richtig wäre meiner meinung nach die Gleichung:
[mm] r\cdot{}R_\alpha\cdot{}\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Welche Gleichung ist nun richtig? die von dir oder mir? und wieso?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 17.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 verschiedene Probleme_
a) eine Gerade soll um den Punkt A, der auf der Geraden liegt gedreht werden..,d,h. der Punkt A bleibt fest, die Gerade wird um diesen Punkt um den gegebenen Winkel gedreht.
b) die ganze Gerade wird um einen Punkt B z.B. den 0 Punkt gedreht, d.h. man dreht 2 Punkte , die auf der geraden liegen
diese 2 Drehungen sind verschieden.
warum spiegelst oder drehst du nicht mal einfach Elementargeometrisch, und vergleichst erst dann mit den Gleichungen, die du noch immer nicht erläutert hast.
in [mm] RR^2 [/mm] weisst du eigentlich immer, was mit (1,0) und (0,1) passiert und damit mit jedem Punkt der Ebene. da die Abbildungen ja linear sind. Und zum n ten Mal. die Drehmatrizen bewegen Punkte, die durch ihre Ortsvektoren beschrieben sind.- das Bild: 3 von n Möglichkeiten eine Gerade g zu drehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß ledum
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ich glaube das ich das jetzt einigermaßen verstanden habe.
Mit welchen Programm hast du eigentlich deine skizze gemacht? Ich mache meine skizzen immer mit paint. die sehen deshalb nicht so gut aus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 17.07.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich glaube das ich das jetzt einigermaßen verstanden
> habe.
>
> Mit welchen Programm hast du eigentlich deine skizze
> gemacht? Ich mache meine skizzen immer mit paint. die sehen
> deshalb nicht so gut aus.
Das sieht nach Geogebra aus.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 17.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie Rex sagte mit Geogebra, es lohnt auf jeden Fall das zu installieren, weil es wirklich sehr viel kann auch für Analysis.
Gruß ledum
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Ich habe mich schlecht ausgedrückt. Deshalb stelle ich die Frage nochmal:
Mich verwirrt dieser Satz von dir:
> Die Drehung der Geraden um den Ursprung mit Winkel $ [mm] \alpha [/mm] $ bekommst du, indem du $ [mm] R_\alpha [/mm] $ mit der gesamten Vektordarstellung $ [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] $ + r $ [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] $ multiplizierst.
Du sagst also das die folgende Multiplikation
$ [mm] R_\alpha\cdot{}(\vektor{3 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{2 \\ 1}) [/mm] $
eine drehung der Geraden um den Ursprung bewirkt. Das ist meines Wissens nach falsch.
Der Term [mm] R_\alpha\cdot{}\vektor{3 \\ 0} [/mm] dreht den Punkt (3,0) um den Ursprung
Der Term [mm] R_\alpha\cdot{}\vektor{2 \\ 1} [/mm] dreht den Richtungsvektor [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] um den Ursprung.
ABER die Gerade
[mm] \vektor{3 \\ 0}+r\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
wird dadruch nicht um den ursprung gedreht. Wenn ich die Gerade um den Ursprung drehen möchte, dann muss ich die Gerade erst zum ursprung verschieben:
[mm] \vektor{3 \\ 0}+r\vektor{2 \\ 1}-\vektor{3 \\ 0}=r\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Jetzt kann ich die Gerade um den Ursprung drehen:
[mm] r*R_\alpha\cdot{}\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Wer hat nun die Gerade richtig um den Ursprung gedreht? ich oder HJKweseleit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 17.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
HJKweseleit hat recht .
Du drehst nicht um 0 sondern um (3,0) deine Gerade kann man ja auch mit (1,.1) oder mit (5,1) oder mit (203,100) durch 0 verschieben warum gerade um (3,0)
sehe meinen anderen post.
Gruß ledum
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Die Drehung einer Geraden um einen Ursprung habe ich jetzt verstanden.
>
> Wenn du die Gesamte Gerade um den Punkt (4|7) drehen
> willst, berechnest du [mm]R_\alpha*( \vektor{3 \\ 0}[/mm] + r [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{4 \\ 7})[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ 7}.[/mm]
>
Wenn man eine Gerade g: [mm] \vec{x}=\vec{a}+r*\vec{u} [/mm] um einen beliebigen Punkt [mm] \vec{b} [/mm] drehen möchte, dann gilt die Rechnung:
[mm] R_\alpha*(\vec{a}+r*\vec{u}-\vec{b})+\vec{b}
[/mm]
Ich verstehe aber nicht wieso die gerade g mit dem Punkt [mm] \vec{b} [/mm] subtrahiert wird. Welchen Sinn hat das? Kann mir das jemand graphsich erklären? Skizzen würden mir deutlich helfen dies zu verstehen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mo 18.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe viele Bildchen gemalt, jetzt bist du dran, mal was selbst zu tun.
nimm B ausserhalb g.
1. drehe g um B elementargeometrisch indem du 2 Punkte von g um B drehst.
2. verschiebe g um -b, spiegle an 0 wie in 1.
3. schiebe zurück
Warum sollen wir das machen??
auf Papier geht das schnell, du musst es ja nicht mit nem Zeichenprogramm machen
Gruß leduart
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier wurde die rote Gerade mit 90° um den Ursprung gedreht, so dass das Ergebnis die grüne Gerade ist. Du siehst sehr schön an den beiden Ortsvektoren zu A und A , dass diese gleich lang und um 90° zueinander gedreht sind. Das selbe gilt für die beiden Punkte B und B .
Wenn du irgendeine Matrix mit dem Vektor 0 multiplizierst, kommt immer 0 heraus. Das bedeutet, dass jede Matrizenmultiplikation - egal ob Drehung, Spiegelung, Stauchung, Projektion... den Urspung an seiner Stelle liegen lässt!!! Und da bei einer Drehung (falls Winkel [mm] \ne [/mm] k*360°) nur ein Punkt an seiner Stelle bleibt, ist das automatisch der Nullpunkt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nehmen wir nun an, du willst die rote Gerade aus dem Bild links oben um den Punkt S mit 90° drehen. Das ist direkt gar nicht möglich, wie ich gerade erläutert habe. Also schiebst du jetzt den Punkt S in den Ursprung (dort [mm] S_1 [/mm] genannt), und mit ihm verschiebt sich die rote Gerade auf die pinkfarbene (Bild oben rechts).
Nun drehst du alles um 90° und erhältst das Bild links unten, die pinkfarbene Gerade wurde um [mm] S_1 [/mm] auf die blaue Linie gedreht. Es ist fast alles richtig, aber die pinkfarbene Gerade ist nicht an ihrem alten Platz, der Punkt [mm] S_1 [/mm] gehört nicht in den Ursprung, sondern wieder nach S. Also schiebst du ihn dorthin, und mit ihm verschiebst du alles andere auch. Damit wandert die pinkfarbene Gerade wieder auf die rote, [mm] S_1 [/mm] wieder auf S, die blaue Gerade auf die grüne. Und da sich alles um [mm] S_1 [/mm] gedreht hatte, hat sich nach dieser Versiebung eigentlich alles um S gedreht. Die grüne Gerade ist aus einer Drehung umn S mit 90° aus der roten entstanden.Das gibt mathematisch die Operationen
R*(g-S)+S, wobei -S die Verschiebung von S auf den Ursprung und +S das zurückschieben beschreibt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zeichnerisch etwas einfacher lässt sich folgende Alternative beschreiben:
Du drehtst einfach um den Ursprung, obwohl du um S drehen solltest, und erhältst im Bild rechts oben die blaue Gerade. Sie liegt natürlich an der falschen Stelle, hat aber durch die Drehung die richtige Richtung bekommen.
Bei dieser Drehung ist der Punkt S nach [mm] S_1 [/mm] gewandert, obwohl S hätte liegen bleiben müssen [mm] (S_1 [/mm] stimmt nicht mit dem der 1. Alternative überein). Deshalb schieben wir [mm] S_1 [/mm] auf S und mit ihm dann die blaue Gerade auf die grüne (die rote lassen wir liegen). Das gibt mathematisch die Operationen
R*g+(S-R*S), wobei (S-R*S) der Pfeil von [mm] S_1=R*S [/mm] zu S ist,
= R*(g-S)+S wie oben,
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
deine antwort hat mir sehr geholfen. habe noch eine kleine frage
> Nun drehst du alles um 90° und erhältst das Bild links
> unten, die pinkfarbene Gerade wurde um [mm]S_1[/mm] auf die blaue
> Linie gedreht.
was meinst du hier mit "alles"?
alle Punkte in der Ebene oder alle Punkte auf der Geraden?
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Die Drehmatrix dreht die ganze Ebene. Du musst natürlich die Ortsvektoren "eingeben" und bekommst dann die gedrehten Punkte heraus.
Du kannst sogar die Matrix mit dem Koordinatensystem selber (also die Achsen) multiplizieren und erhältst dann die gedrehten Achsen.
Im Bild links unten existiert eigentlich die pinkfarbene Gerade nicht mehr, weil sie ja auf die blaue gedreht wurde. Außerdem hätte ich das verschobene, graue ursprüngliche Koordinatensystem mit dem blauen Ursprung nun ebenfalls mitdrehen müssen.
Es ist so, als ob du alles liegen lässt und nur das Koordinatensystem im Uhrzeigersinn drehst und dann alle Punkte auf das gedrehte Koordinatensystem beziehst. Deshalb habe ich dir ja auch gesagt, dass die passive Drehung rechts herum einer aktiven Drehung links herum entspricht und du - wenn du beides ausführlich machst - nur alles doppelt machst.
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Ich bin gerade dabei meine Zusammenfassung zu bearbeiten. Ich verbessere auch die Skizzen, aber die folgenden Skizzen kann ich mit Geobra nicht zeichnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß nicht wie man ein zweiten Koordinatensystem einfügt und diese dann um einen bestimmten winkel dreht.
Ist das möglich? Wenn ja, wie?
Ich wäre auch sehr dankbar, wenn jemand für mich diese Skizzen erstellt. Dafür würde ich euch die genauen Information (also die genauen Werte) geben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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die frage hat sich erledigt.
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Ich habe meine Zusammenfassung verbessert. Könnt ihr euch es nochmal durchlesen und mich auf fehler hinweisen oder Verbesserungsvorschläge machen?
Ich möchte noch erwähnen, dass ich die Herleitung der einzelnen Matrizen nicht erklären möchte. Wichtig für mich ist, zu verstehen wie man diese richtig anwendet.
Verbesserte Zusammenfassung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Im letzten Schritt muss man den Vektor ... an den Vektor ... anhängen und erhält somit ...
Zusammenfassend kann gesagt werden: Man dreht zuerst den Vektor ...um den Ursprung und führt im Anschluss eine Parallelverschiebung mit dem Vektor ... durch
Der Ortsvektor ... wird anschließend parallel zum Punkt
D verschoben
Besser: D wird mit dem Ortsvektor [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] nach E verschoben.
Anmerkung beachten:
Dein Beispiel ist richtig, aber schlecht illustriert. In beiden Fällen führst du die Verschiebung mit dem Vektor [mm] \overrightarrow{OD} [/mm] durch, der aber in keiner Skizze zu sehen ist. Die Pfeile [mm] \overrightarrow{DE} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] sind dagegen überflüssig. Ich habe erst nach 3 Anläufen gemerkt, dass tatsächlich die Verschiebungen in beiden Beispielen identisch sind. Du solltest auch denselben Maßstab für beide Koordinatensysteme verwenden.
Die nochmalige Behandlung der Vertauschung Drehung-Verschiebung für die passive Drehung halte ich für überflüssig, weil diese einer gleichen aktiven negativen Drehung entspricht. Ich habe daher weder den Text noch die Zeichnung geprüft.
Zu [mm] R_n: [/mm] Halte ich für Hochstapelei. Wenn du mir soetwas z.B. im Seminar vorzeigen würdest, würde ich dich fragen, warum die ansonsten völlig symmetrische Matrix (z.b. [mm] n_1^2, n_2^2, n_3^2 [/mm] in der Hauptdiagonale usw.) an 3 Stellen vor dem sinus kein [mm] n_{sowieso} [/mm] hat, warum dort ein Minus- Zeichen steht und vor allem: Warum diese 3 Stellen so unsymmetrisch in der Matrix verteilt sind...
"Das heißt für die Drehung einer Geraden um den Ursprung werden zwei Punkte auf der Geraden um den Ursprung gedreht."
Nein: Alle, aber es reichen zwei, weil dadurch die Gerade festgelegt ist.
Der Rest ist ok.
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