Dose - Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:53 So 25.04.2004 | | Autor: | Ute |
Wie sieht die größtmögliche Dose (Volumen!) bei gegebener Oberfläche O=200cm² aus?
a) geschlossen
b) ohne Deckel
Die Dose hat Zylinderform.
Der Kreis hat eine Grundfläche, die sich so errechnen lässt: [mm] \pi [/mm] * r²
ZF: V(r,h)= [mm] \pi [/mm] * r² * h
NB: O a) = 2 * [mm] \pi [/mm] * r² + (2 * [mm] \pi [/mm] * r * h) <--- für was steht das in ( )?
O b) = [mm] \pi [/mm] * r² + 2 * [mm] \pi [/mm] * r * h
ZF: O a) = (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) + (2 * [mm] \pi [/mm] * r ) * h | - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²)
O a) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) = (2 * [mm] \pi [/mm] * r ) * h | : (2 * [mm] \pi [/mm] * r)
O a) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) / (2* [mm] \pi [/mm] * r) = h
O b) - [mm] (\pi [/mm] * r²) / (2 * [mm] \pi [/mm] * r) = h
Va) (in Abhängigkeit von r) = r * Oa) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) / 2
Vb) (r) = r * Ob) - [mm] (\pi [/mm] * r²) / 2
Wie kann ich nun den Radius errechnen, um diesen dann in die Volumenformel einzusetzen?
|
|
| |
|
> Wie sieht die größtmögliche Dose (Volumen!) bei gegebener
> Oberfläche O=200cm² aus?
> a) geschlossen
> b) ohne Deckel
>
> Die Dose hat Zylinderform.
> Der Kreis hat eine Grundfläche, die sich so errechnen
> lässt: [mm] \pi [/mm] * r²
ok
>
> ZF: V(r,h)= [mm] \pi [/mm] * r² * h
> NB: O a) = 2 * [mm] \pi [/mm] * r² + (2 * [mm] \pi [/mm] * r * h)
> <--- für was steht das in ( )?
Damit man besser die Struktur erkennen kann;
Oa) ist die Oberfläche mit zwei Deckeln (oben und unten)
Ob) ist die Oberfläche mit nur einem Deckel (=Boden)
> O b) = [mm] \pi [/mm] * r² + 2 * [mm] \pi [/mm] * r * h
>
Man kann beide Nebenbedingungen nach h auflösen und das so ermittelte h in die Hauptbedingung einsetzen:
> ZF: O a) = (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) + (2 * [mm] \pi [/mm] * r ) * h | - (2 *
> [mm] \pi [/mm] * r²)
> O a) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) = (2 * [mm] \pi [/mm] * r ) * h | : (2
> * [mm] \pi [/mm] * r)
> O a) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) / (2* [mm] \pi [/mm] * r) = h
>
> O b) - [mm] (\pi [/mm] * r²) / (2 * [mm] \pi [/mm] * r) = h
>
>
> Va) (in Abhängigkeit von r) = r * Oa) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) /
> 2
>
> Vb) (r) = r * Ob) - [mm] (\pi [/mm] * r²) / 2
>
>
> Wie kann ich nun den Radius errechnen, um diesen dann in
> die Volumenformel einzusetzen?
Du sollst doch den Radius so berechnen, daß bei gegebener Oberfläche (entweder Oa) oder Ob) ) das Volumen möglichst groß wird.
Überlege, was für ein Typ von Aufgabe das ist.
Setze in obige Formeln doch einfach mal die gegebene Oberfläche ein; dann hast Du doch eine Funktion V(r), die nur noch von r abhängt und die einen möglichst großen Wert annehmen soll.
Ich denke, nun solltest Du den Weg finden - wenn nicht, frage einfach weiter.
Viel Erfolg!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 So 25.04.2004 | | Autor: | Ute |
ja ich kann den Wert 200 in die V Gleichung einsetzen aber wenn ich keinen gegebenen Radius hab, muss ich mir dann Werte ausdenken? oder kann ich r so ausrechnen, indem ich für h die aufgestellte Gleichung in diese einsetze: O a) = 2 * pi * r² + 2 * pi * r *h und dann nach r auflösen? Oder geht das gar nicht?
|
|
|
| |
|
> ja ich kann den Wert 200 in die V Gleichung einsetzen aber
> wenn ich keinen gegebenen Radius hab, muss ich mir dann
> Werte ausdenken?
nein, natürlich nicht.
schön, dann hast Du doch 'ne Gleichung zum Weiterarbeiten:
V(r) = eine Funktion, die nur von r abhängt.
man könnte statt V auch f und statt r auch x schreiben:
f(x)= ... und dann den gröten Wert von f ermitteln.
Das kannst Du doch bestimmt.
Habt Ihr noch keine Extremwert-Aufgaben im Unterricht behandelt?!
>oder kann ich r so ausrechnen, indem ich
> für h die aufgestellte Gleichung in diese einsetze: O a) =
> 2 * pi * r² + 2 * pi * r *h und dann nach r auflösen? Oder
> geht das gar nicht?
>
nur Mut!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Ute |
ja wir haben schon Extremwertaufgaben gemacht. Aber ich verstehe sie nicht. Na ja, egal  Mit der Aufgabe komme ich jetzt auch nicht weiter
|
|
|
| |
|
Hallo Ute,
nun lass nicht gleich den Kopf hängen. Das kriegen wir schon hin!
> Wie sieht die größtmögliche Dose (Volumen!) bei gegebener
> Oberfläche O=200cm² aus?
> a) geschlossen
> b) ohne Deckel
>
> Die Dose hat Zylinderform.
> Der Kreis hat eine Grundfläche, die sich so errechnen
> lässt: [mm] \pi [/mm] * r²
>
> ZF: V(r,h)= [mm] \pi [/mm] * r² * h
> NB: O a) = 2 * [mm] \pi [/mm] * r² + (2 * [mm] \pi [/mm] * r * h)
> <--- für was steht das in ( )?
> O b) = [mm] \pi [/mm] * r² + 2 * [mm] \pi [/mm] * r * h
>
> ZF: O a) = (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) + (2 * [mm] \pi [/mm] * r ) * h | - (2 *
> [mm] \pi [/mm] * r²)
> O a) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) = (2 * [mm] \pi [/mm] * r ) * h | : (2
> * [mm] \pi [/mm] * r)
> O a) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) / (2* [mm] \pi [/mm] * r) = h
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast eine Klammer vergessen.
Ich rechne mal mit Oa) = 200 weiter:
[mm] h= \bruch {200-2 \pi * r²}{2 \pi * r} [/mm]
kürzen erstmal durch 2:
[mm] h= \bruch {100-1 \pi * r²}{ \pi * r} [/mm]
und setzen dieses h in die Hauptbedingung für V ein:
V(r,h)= [mm] \pi [/mm] * r² * h
Dann hängt V natürlich nur noch von r ab:
[mm] V(r)=\pi * r² *( \bruch {100- \pi * r²}{ \pi * r} ) [/mm]
hier kannst du jetzt bestimmt durch [m] \pi [/m] und r kürzen und erhältst die zu untersuchende Funktion:
[m] V(r)=100 r - \pi r³ [/m]
Jetzt suchst du "nur" noch dasjenige r, für das diese Funktion besonders groß wird.
Konntest du mir bis hierhin folgen ?
Dann bilde mal die erste Ableitung der Funktion V(r) und poste sie hier
>
> O b) - [mm] (\pi [/mm] * r²) / (2 * [mm] \pi [/mm] * r) = h
>
>
> Va) (in Abhängigkeit von r) = r * Oa) - (2 * [mm] \pi [/mm] * r²) /
> 2
>
> Vb) (r) = r * Ob) - [mm] (\pi [/mm] * r²) / 2
>
>
> Wie kann ich nun den Radius errechnen, um diesen dann in
> die Volumenformel einzusetzen?
>
Jetzt mach ich erstmal Pause fürs Abendbrot.
Tschüss,
Informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 26.04.2004 | | Autor: | Ute |
wenn ich durch pi und r kürze, bleibt bei mir das:
V(r)= 100 - pi * r²
die erste ableitung davon ist
V'(r)= 100- pi * 2r
|
|
|
| |
|
Hallo Ute,
das versteh' ich nicht:
> wenn ich durch pi und r kürze, bleibt bei mir das:
>
> V(r)= 100 - pi * r²
>
> die erste ableitung davon ist
>
> V'(r)= 100- pi * 2r
>
ich meinte die veränderte Ausgangsfunktion:
[m] V(r)=100r - \pi r^3 [/m]
Ableitung: [m] V'(r)= 100 - 3 \pi r^2 [/m]
Nun gilt: eine Funktion hat möglicherweise dort einen Extremwert, wo die erste Ableitung Null ist.
Also lösen wir die Gleichung:
[m] 0 = 100 - 3 \pi r^2 [/m]
[m] <=> 3 \pi r^2 = 100 [/m]
[m] <=> r^2 = \bruch {100} {3 \pi} [/m]
[m] <=> r = \wurzel{\bruch {100} {3 \pi}} [/m]
Diese Wurzel kannst du noch teilweise ziehen, schließlich ist 100 eine Quadratzahl
[m] <=> r = 10 * \wurzel{\bruch {1} {3 \pi}} [/m]
Die zweite Lösung kommt natürlich nicht infrage, weil ein Radius natürlich immer >0 sein sollte!
Jetzt solltest du noch das gefundene r in V(r) einsetzen, damit du eine Vorstellung bekommst, wie groß das Volumen denn nun ist.
Übrigens: wir haben noch nicht geprüft, ob dieser Extremwert wirklich ein Maximum darstellt.
Machst du das jetzt mal?
Ich würde mich freuen - auch über die analoge Aufgabe "ohne" Deckel.
Also dann ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:37 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute,
nur zwei kurze Bemerkungen:
Du fragst hier:
> NB: O a) = 2 * [mm] \pi [/mm] * r² + (2 * [mm] \pi [/mm] * r * h) <--- für was steht das in ( )?
Der Klammerausdruck steht für den Mantel des Zylinders. Wenn man den Mantel nämlich "ausrollt", dann erhält man eine Rechteck mit den Seitenlängen [mm] $2\pi [/mm] r$ (=Umfang des Bodenkreises) und $h$ (=Höhe der Dose). Die Klammern sind überflüssig, aber wir informix sagte, strukturieren sie die Formel etwas.
Der erste Teil, also [mm] 2*\pi*r² [/mm] steht übrigens für den Flächeninhalt des Bodens [mm] ($=\pi*r^2$) [/mm] und des Deckels (ebenfalls [mm] $=\pi*r^2$).
[/mm]
Weiterhin schreibst du hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
> wenn ich durch pi und r kürze, bleibt bei mir das:
> V(r)= 100 - \pi * r²
Das erkläre uns bitte nochmal, wie du darauf kommst, es ist ziemlich wichtig, dass du das Kürzen beherrschst:
Informix hatte vorgerechnet:
$V(r)=\pi * r² *( \bruch {100- \pi * r²}{ \pi * r} )$
Hier kann man sozusagen über Kreuz kürzen:
$V(r)=\red{\pi}\black{} * r² *( \bruch {100- \pi * r²}{ \red{\pi}\black{} * r} )$
$= r² *( \bruch {100- \pi * r²}{r} )$
$= \red{r}*\black{r} *( \bruch {100- \pi * r²}{\red{r}\black{}} )$
$= r*(100- \pi * r²})$
$= 100r- \pi * r^3$ (das hatte ja auch informix angegeben).
Das "Über-Kreuz-Kürzen" kannst du so einsehen:
$V(r)=\bruch{\pi * r²}{1} *\bruch {100- \pi * r²}{ \pi * r}$
$=\bruch{(\pi * r²)*(100- \pi * r²)}{ \pi * r}$
Jetzt steht alles in einem Bruch, und man darf aus dem Produkt im Zähler und im Nenner kürzen; wie, dürfte nach der obigen Rechnung klar sein.
Direkt anschließend schreibst du noch, dass die Ableitung von 100 - \pi * r²
100 - \pi * 2*r
wäre. Das ist nicht richtig (auch dann, wenn dein V(r) richtig wäre), denn 100 ist ja eine additive Konstante, die beim Ableiten verschwinden, also zu 0 abgeleitet werden. Richtig wäre also:
$(100 - \pi * r²)'=-\pi*2r$
(Frage bitte nach, wenn du wissen willst, wieso die Ableitung von additiven Konstanten Null ist).
Hast du die Aufgabe nun verstanden? Wie sieht es mit der deckellosen Variante aus?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 27.04.2004 | | Autor: | Ute |
Also V(r) = 100r - pi * r³
Aber woher plötzlich das: 100 - pi * r² ?
Kommst du auf 100 - pi * r² so, weil da ein Minus ist oder wie kommt das r nach der 100 weg und die hoch 3 hinten bei dem r?
Die Ableitung von diesem Schritt
100 - pi * r² = -pi * 2r
verstehe ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute,
> Also V(r) = 100r - pi * r³
>
> Aber woher plötzlich das: 100 - pi * r² ?
> Kommst du auf 100 - pi * r² so, weil da ein Minus ist oder
> wie kommt das r nach der 100 weg und die hoch 3 hinten bei
> dem r?
Ich weiß nicht, welche Stelle du in meinem Beitrag meinst, könntest du sie mal zitieren (auf antworten klicken und dann auf "Zitieren").
Meiner Meinung nach habe ich nirgendwo 100 - pi * r² geschrieben, außer an der Stelle, wo ich dich zitiert hatte und dich darauf hingewiesen hatte, dass dies falsch ist.
Bitte melde dich nochmal, bin jetzt etwas verwirrt 
Bis gleich,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 27.04.2004 | | Autor: | Ute |
> Richtig wäre also:
>
> $(100 - [mm] \pi [/mm] * [mm] r²)'=-\pi*2r$
[/mm]
ich weiß nicht, wie du darauf kommst. vorher hatten wir noch hoch 3 (siehe unten):
> $= 100r- [mm] \pi [/mm] * [mm] r^3$ [/mm] (das hatte ja auch informix
> angegeben).
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute:
> > Richtig wäre also:
> >
> > $(100 - [mm] \pi [/mm] * [mm] r²)'=-\pi*2r$
[/mm]
>
> ich weiß nicht, wie du darauf kommst. vorher hatten wir
> noch hoch 3 (siehe unten):
Alles klar, jetzt weiß ich wenigstens, was du meinst.
Du hattest ja in diesem Beitrag geschrieben:
> wenn ich durch pi und r kürze, bleibt bei mir das:
> V(r)= 100 - pi * r²
> die erste ableitung davon ist
> V'(r)= 100- pi * 2r
Hier ist sowohl V(r) falsch, als auch V'(r). V'(r) ist also nicht nur "folgefalsch", da die Ableitung von $100 - [mm] \pi [/mm] * r²$ ist: [mm] -\pi*2r [/mm] (siehe das Zitat oben, das du eingefügt hast).
Ich wollte dich also nur darauf hinweisen, dass dir da ein zusätzlicher Fehler unterlaufen ist.
> > $= 100r- [mm] \pi [/mm] * [mm] r^3$ [/mm] (das hatte ja auch informix
Das ist das richtige V(r), wie von informix und mir ausgerechnet.
Jetzt klar, was ich meinte?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 27.04.2004 | | Autor: | Ute |
Ok und die Ableitung von 100r - pi * r³ ist also r- pi * 3r² oder?
wie mache ich eigentlich einen backslash mit der tastatur, um pi zu schreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute!
> Ok und die Ableitung von 100r - pi * r³ ist also r- pi * 3r² oder?
Ja, genau, das stimmt!
Korrektur: Nein, das stimmt nicht, siehe diesen Beitrag.
> wie mache ich eigentlich einen backslash mit der tastatur,
> um pi zu schreiben?
Das kommt natürlich auf deine Tastatur an, ich vermute aber mal, dass ein Backslash auf der Taste mit dem "ß" bzw. "?" abgebildet ist (rechts vom "ß"), auf derselben Taste. Die Taste müßte zwei Tasten links des "Backspace" liegen.
Um den Backslash einzutippen, mußt du "Alt Gr" (rechts neber der Leertaste zu finden) und gleichzeitig die "ß"-Taste drücken.
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 27.04.2004 | | Autor: | Ute |
danke, für den Tipp mit dem Backslash.
Nun, mit der Matheaufgabe bin ich ja jetzt noch nicht fertig, oder?
Mit was muss ich denn jetzt fortfahren?
V'(r)= r- [mm] \pi [/mm] * 3r² sagt mir ja noch keinen genauen Wert des größten Volumens.
Sorry, wenn ich nerve.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute!
> Nun, mit der Matheaufgabe bin ich ja jetzt noch nicht
> fertig, oder?
> Mit was muss ich denn jetzt fortfahren?
> V'(r)= r- [mm] \pi [/mm] * 3r² sagt mir ja noch keinen genauen Wert
> des größten Volumens.
Das hat informix in diesem Beitrag doch schon vorgemacht -- lies' dir das am besten erst mal durch
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 27.04.2004 | | Autor: | Ute |
er hat aber eine andere Ableitung raus, nämlich dass die 100 bleiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute!
> er hat aber eine andere Ableitung raus, nämlich dass die
> 100 bleiben.
Upps, da habe ich mich vertan, sorry.
Du hattest ja geschrieben:
> Ok und die Ableitung von 100r - pi * r³ ist also r- pi * 3r² oder?
Das ist falsch, die Ableitung lautet [mm] 100-3\pi*r^2.
[/mm]
Das liegt daran, weil 100r abgeleitet ist: 100, und nicht r!
Hier ist die 100 ein konstanter Faktor, dieser bleibt beim Ableiten erhalten (diese Regel heißt Faktorregel!
Es ist ja $100r = [mm] 100r^1$, [/mm] und wenn du nun die Potenzregel für Ableitungen
[mm] $(x^n)' [/mm] = [mm] n*x^{n-1}$
[/mm]
darauf anwendest mit (n=1 und x=r):
[mm] $(r^1)'=1*r^{1-1}=1*r^0=r$
[/mm]
Deswegen ist:
$(100r)' = [mm] 100*1*r^0 [/mm] = 100$
und nun für die gesamte Funktion:
[mm] $V'(r)=100-3\pi*r^2$
[/mm]
Sorry für den übersehenen Fehler.
Jetzt haben wir aber dieselbe Ableitung wie informix raus, und du kannst ihren Beitrag für das weitere Vorgehen (zur Bestimmung des Extrempunktes) weiterlesen.
Alles Gute,
Marc
P.S.: Meine falsche Antwort von vorhin habe ich korrigiert, nicht, dass du davon gleich irritiert wirst, wenn du sie nochmal durchliest
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Di 27.04.2004 | | Autor: | Ute |
der radius ist 3,257... cm und das Volumen 217,15667 cm³. Stimmt's? (Oh bitte!) Will ins Bett...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 27.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute!
> der radius ist 3,257... cm und das Volumen 217,15667 cm³.
Das ist richtig! Obwohl ich die Dezimalzahlen gar nicht ausgerechnet hätte (es sei denn natürlich, es ist explizit verlangt).
Informix' Ergebnis ist zwar ein komplizierterer Ausdruck, aber da ist es dem Anwender des Ergebnisses überlassen, auf wie viele Stellen genau er das Ergebnis haben will.
> Stimmt's? (Oh bitte!) Will ins Bett...
Das kannst du jetzt auch beruhigt
Schlaf' gut!
Marc
|
|
|
|
