Doppelt gebundene Variablen < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Mo 30.11.2015 | | Autor: | SilentSto12m |
| Aufgabe | | Zeigen oder wiederlegen Sie: [mm] \forall\\x\exists\\x(F\wedge\\G)\equiv\\\exists\\x\forall\\x(F \wedge\\G) [/mm] |
Wie soll ich diese Aufgabe anpacken mit Äquivalenzumformung komm ich hier nicht besonders weit. Allgemein kann ich diesen Aussagen keinen Sinn abgewinnen. Kann man die selbe Variable überhaupt doppelt binden?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
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> Zeigen oder wiederlegen Sie:
> [mm]\forall\\x\exists\\x(F\wedge\\G)\equiv\\\exists\\x\forall\\x(F \wedge\\G)[/mm]
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> Wie soll ich diese Aufgabe anpacken mit
> Äquivalenzumformung komm ich hier nicht besonders weit.
> Allgemein kann ich diesen Aussagen keinen Sinn abgewinnen.
> Kann man die selbe Variable überhaupt doppelt binden?
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
meiner Ansicht nach ist eine Quantorenkombination wie [mm] \forall\\x\exists\\x
[/mm]
sinnlos. Die Variablen müssten unterschiedlich bezeichnet werden.
Ferner sollte im Vornherein klar sein, ob zum Beispiel F von x und
G von y oder etwa sowohl F und G von x und y abhängig sein
sollen.
So wie die Frage daherkommt, scheint sie mir unbrauchbar.
Wurde sie denn wirklich genau so gestellt ? Und von wem ?
LG , Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | Seien F und G beliebige prädikatenlogische Formeln. Zeigen oder widerlegen Sie:
[mm] \forall\\x\exists\\x(F\wedge\\G)\equiv\\\exists\\x\forall\\x(F \wedge\\G) [/mm] |
Tatsächlich wurde die Aufgabe genau so gestellt (Ich habe die Aufgabenstellung jetzt noch einmal präzisiert). Wer genau die Aufgaben stellt ist mir nicht bekannt. Allerdings ist die Aufgabe Teil einer offiziellen Übung, die auch bewertet wird (Scheinkriterium). Ich würde die Aufgabe wie folgt verstehen:
Da das x bereits mit dem rechten Quantor gebunden ist haben wir zwei verschiedene x. Das x, das zum linken und das, das zum rechten Quantor gehört. Das x des linken wird allerdings von dem des rechten "überschreiben" somit kann man den linken Quantor weglassen, weil sein x ja nicht verwendet wird, das bedeutet, die Äquivalenz ist nicht gegeben. Ist dieser Ansatz valide?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 02.12.2015 | | Autor: | hippias |
Den gleichen Variablennamen bei mehreren Quantifizierungen zu benutzen ist zwar unüblich, aber formal ein korrekter Ausdruck. Davon kannst Du Dich überzeugen, indem Du den Term gemäss der Regeln zum Termaufbau nachvollziehst.
Übersetze die Terme zuerst in unsere Sprache. Dann erhälst Du vielleicht schon einen Hinweis, ob die Ausdrücke äquivalent sind oder nicht.
Der linke Ausdruck kann so übersetzt werden: für jedes Ding gibt es ein Ding (die müssen nicht gleich sein), sodass $F$ und $G$ gilt.
Versuche es für den anderen Ausdruck und stelle eine Vermutung auf, ob die Äquivalenz gilt oder nicht. Wie beweist man die Äquivalenz?
> Seien F und G beliebige prädikatenlogische Formeln. Zeigen
> oder widerlegen Sie:
>
> [mm]\forall\\x\exists\\x(F\wedge\\G)\equiv\\\exists\\x\forall\\x(F \wedge\\G)[/mm]
>
> Tatsächlich wurde die Aufgabe genau so gestellt (Ich habe
> die Aufgabenstellung jetzt noch einmal präzisiert). Wer
> genau die Aufgaben stellt ist mir nicht bekannt. Allerdings
> ist die Aufgabe Teil einer offiziellen Übung, die auch
> bewertet wird (Scheinkriterium). Ich würde die Aufgabe wie
> folgt verstehen:
> Da das x bereits mit dem rechten Quantor gebunden ist
> haben wir zwei verschiedene x. Das x, das zum linken und
> das, das zum rechten Quantor gehört. Das x des linken wird
> allerdings von dem des rechten "überschreiben" somit kann
> man den linken Quantor weglassen, weil sein x ja nicht
> verwendet wird, das bedeutet, die Äquivalenz ist nicht
> gegeben. Ist dieser Ansatz valide?
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Wenn man es sich rein textlich überlegt ist diese Äquivalenz nicht gegeben, da es zwar gilt, dass etwas, das für jedes Ding gilt auch für ein spezielles Ding gilt, aber nicht andersherum. Was mir fehlt ist der Ansatz für einen formellen Beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Do 03.12.2015 | | Autor: | hippias |
> Wenn man es sich rein textlich überlegt ist diese
> Äquivalenz nicht gegeben, da es zwar gilt, dass etwas, das
> für jedes Ding gilt auch für ein spezielles Ding gilt,
> aber nicht andersherum.
Das steht so nicht in der Aufgabenstellung, noch habe ich es so geschrieben: Du musst genauer lesen! "Fuer jedes Ding gibt es ein Ding, sodass $F$ und $G$ gelten" ist etwas völlig anderes als [mm] [\ldots] [/mm] das für jedes Ding gilt auch für ein spezielles Ding gilt".
Also nocheinmal: übersetze analog zu meiner Vorgabe den Ausdruck [mm] $\exists x\forall x(F\wedge [/mm] G)$. Dann äussere eine Vermutung, ob Äquivalenz gilt oder nicht.
> Was mir fehlt ist der Ansatz für
> einen formellen Beweis.
Den findest Du in Deiner Mitschrift in der Definition der Äquivalenz bzw. des Zeichens [mm] $\equiv$. [/mm] Wie lautet die Definition?
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Hiho,
wenn die Frage so gestellt ist, könnte man auch in Frage stellen, ob F und G überhaupt von x abhängen. Dann wäre die Gleichheit natürlich korrekt...
Gruß,
Gono
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Das stimmt zwar, aber nur exemplarisch für den Fall, dass x nicht in G und F vorkommt. Beweisen muss man ja allgemein, denn F und G sind beliebig.
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Hiho,
ja, aber spätestens nach der ersten Bindung nicht mehr, so dass [mm] $\forall x\exists [/mm] x A [mm] \equiv \exists [/mm] x A$ und damit obiges zu einer einfacheren Aussage wird.
Gruß,
Gono
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Tut mir leid, aber ich versteh nicht genau was du mir damit sagen willst. Kannst du das vielleicht etwas anders formulieren ich kann keinen Bezug zum Vorherigen herstellen.
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Hiho,
sei A eine Aussage in der x nicht als ungebundene Variable vorkommt, so gilt sowohl [mm] $\exists [/mm] x A [mm] \equiv [/mm] A$ als auch [mm] $\forall [/mm] x A [mm] \equiv [/mm] A$.
Sei nun [mm] $B_1 [/mm] = [mm] \exists [/mm] x (F [mm] \wedge [/mm] G)$ und [mm] $B_2 [/mm] = [mm] \forall [/mm] x (F [mm] \wedge [/mm] G)$ dann ist x weder in [mm] B_1 [/mm] noch in [mm] B_2 [/mm] ungebunden und damit:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] B_1 [/mm] = [mm] B_1$ [/mm] und [mm] $\exists [/mm] x [mm] B_2 [/mm] = [mm] B_2$
[/mm]
D.h. deine Aufgabe vereinfacht sich von $ [mm] \forall\\x\exists\\x(F\wedge\\G)\equiv\\\exists\\x\forall\\x(F \wedge\\G) [/mm] $ zu [mm] $\exists\\x(F\wedge\\G)\equiv\\\forall\\x(F \wedge\\G) [/mm] $
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