Doppelsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 27.05.2008 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | Berechne für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{k=i}^{n}\bruch{i}{k} [/mm] |
Wie berechne ich solch eine Doppelsumme?
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> Berechne für alle [mm]n\in\IN:[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=i}^{n}\bruch{i}{k}[/mm]
> Wie berechne ich solch eine Doppelsumme?
saluti silencio,
zum Anfangen würde ich dir einmal empfehlen,
die gesamte Summation an konkreten Beispielen
(etwa mit n=5, n=10) von Hand (oder vielleicht
mit excel) durchzuführen. Das sollte dir gewisse
Ideen für den allgemeinen Fall bringen.
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 27.05.2008 | | Autor: | silencio |
ich versteh das prinzip dieser doppelsumme nicht wirklich. wenn unter dem zweiten summenzeichen k=i steht, dann ist doch i/k immer =1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> ich versteh das prinzip dieser doppelsumme nicht wirklich.
> wenn unter dem zweiten summenzeichen k=i steht, dann ist
> doch i/k immer =1.
Nein, das heißt nur, dass k nicht von 1 bis n, sondern nur von i bis n läuft.
Erster Durchlauf (i=1 in dem vorderen Summenzeichen)
Es wird hinten die Summe 1/1 +1/2+...+1/n gebildet.
Zweiter Durchlauf (i=2 in dem vorderen Summenzeichen)
Es werden nun noch 2/2+2/3+2/4+...2/n dazu addiert.
Dritter Durchlauf (i=3 in dem vorderen Summenzeichen)
Es werden nun noch 3/3+3/4+3/5+...3/n dazu addiert.
usw
Viele Grüße
Abakus
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 27.05.2008 | | Autor: | konvex |
na die summe besagt, dass [mm] \summe_{k=i}^{n} \bruch{i}{k} [/mm] = [mm] \bruch{i}{i} [/mm] + [mm] \bruch{i}{i+1} [/mm] + [mm] \bruch{i}{i+2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{i}{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{i}{n}
[/mm]
und dann nimmst du die 2.summe und summierst i auf, dh. zuerst setzte überall 1 ein, dann überall i=2 usw. bis zu i=n, dh. [mm] (1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] (1+\bruch{2}{3}+\bruch{2}{4}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{2}{n-2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n}) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (1+\bruch{n}{n+1}+ \ldots [/mm] + [mm] \bruch{n}{n-1} +\bruch{n}{n})
[/mm]
ich hoffe dass hilft dir etwas weiter 
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 27.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechne für alle [mm]n\in\IN:[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=i}^{n}\bruch{i}{k}[/mm]
> Wie berechne ich solch eine Doppelsumme?
In dem du sie umordnest!
Ich schreib mal grob hin wie das aussieht (mit allgemeinen Koeffizienten [mm] $a_{ik}$ [/mm] anstelle [mm] $\frac{i}{k}$):
[/mm]
[mm] $\sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n a_{ik} [/mm] = [mm] \sum_{\text{alle } i, k \text{ mit} \atop 1 \le i \le k \le n} a_{ik} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k a_{ik}$.
[/mm]
So. Du kannst dir ja erstmal ueberlegen, warum da ueberall Gleichheit steht.
Wenn du das hast, kannst du dir die innere Summe [mm] $\sum_{i=1}^k \frac{i}{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k [/mm] i$ genauer angucken. (Stichwort: der kleine Gauss.) Und den geschlossenen Ausdruck, den du dafuer herausbekommst, in die aeussere Summe einsetzen. Du wirst sehen, es loest sich alles in wohlgefallen auf 
LG Felix
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