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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 24.07.2008 | | Autor: | vada |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{x} e^{-x-y}\, [/mm] dydx
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
kann man hier auch schreiben
[mm] \integral_{0}^{x} e^{-y}\, [/mm] dy * [mm] \integral_{0}^{\infty} e^{-x}\, [/mm] dx ??
Oder wie kann man sonst e^(-x-y) nach dy integrieren?
vG
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Hallo!
> Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{unendlich} \integral_{0}^{x} e^{-x-y}\,[/mm]
> dydx
> Hallo,
>
> kann man hier auch schreiben
>
> [mm]\integral_{0}^{x} e^{-y}\,[/mm] dy *
> [mm]\integral_{0}^{unendlich} e^{-x}\,[/mm] dx ??
>
Nein, auf keinen Fall. Das [mm] \integral{... dx} [/mm] wirkt zunächst wie eine teuflische Klammer, aus der ... auf keinen Fall rauskommt 
Dein Ergebnis wäre dann im Übrigen, wie du leicht erkennen kannst, noch von x abhängig (linkes Integral!), obwohl man eindeutig an der ausgangs gestellten Aufgabe sieht, dass eine Zahl herauskommt (Das äußerste Integral hat nur noch Zahlen als Grenzen!).
Erst mit dem Satz von Fubini etc. kann man die "teuflischen Grenzen" etwas lockern.
> Oder wie kann man sonst e^(-x-y) nach dy integrieren?
Ist doch ganz einfach :
Wenn du nach dy integrierst, ist x eine Konstante! Wie würdest du
[mm] \integral_{0}^{x}{e^{-2-y} dy}
[/mm]
(hab mal den konstanten Wert 2 für x eingesetzt) oder
[mm] \integral_{0}^{x}{e^{5-y} dy}
[/mm]
(hier hab ich -5 für x eingesetzt) integrieren?
Na klar, mit linearer Substitution! Und genauso verhält es sich jetzt auch mit der frei wählbaren, aber festen (zumindest für die geradige Integration) Variablen x:
[mm] \integral_{0}^{x}{ e^{-x-y}dy} [/mm] = [mm] \left[-e^{-x-y}\right]_{0}^{x} [/mm] = [mm] -e^{-2x} [/mm] + [mm] e^{-x}
[/mm]
Nun probiere die Integration nach x!
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 24.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
alternativ könntest du auch so umformen:
> Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{unendlich} \integral_{0}^{x} e^{-x-y}\,[/mm]
> dydx
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{x}{\ e^{-x-y}\ dy\ dx}=\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{x}{\ e^{-x}*e^{-y}\ dy\ dx}
[/mm]
jetzt spielt doch bei der inneren Integration (setze in Gedanken wieder bei [mm] e^{-x} [/mm] das x=k ein) [mm] e^{-x} [/mm] das Spiel eines konstanten Faktors und den darf man vor das Integral ziehen - von daher war dein Ansatz gar nicht so verkehrt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Mach dir aber bitte den kleinen Unterschied zu deiner Lösung klar (beachte dydx).
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{x}{\ e^{-x}*e^{-y}\ dy\ dx}=\integral_{0}^{\infty}\ e^{-x}\integral_{0}^{x}{e^{-y}\ dy\ dx}
[/mm]
um nun noch das was Steppenhahn gesagt hat zu verdeutlichen, setze ich mal noch Klammern:
[mm] \blue{\integral_{0}^{\infty}}\ \left(e^{-x}\integral_{0}^{x}{e^{-y}\ dy\right)\ \blue{dx}}
[/mm]
Es dürfte dann nicht mehr schwer fallen das innere bzw. danach das äußere Integral zu berechnen.
Grüße
Smarty
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