Doppelintegral lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 25.03.2018 | | Autor: | Pacapear |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechne das folgende Integral:
$\int_1^a \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy dx$ |
Hallo zusammen!
Ich soll das obige Integral berechnen.
Ich bin so weit gekommen:
$\int_1^a \left( \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy \right) dx$
$= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^3} * x * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx$
$= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^2} * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx$
$= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx$ - $\int_1^a \frac{1}{x^2} dx$
Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller Integration zu lösen, dazu habe ich \frac{1}{x^2} als $g$ gewählt und e^{\frac{b}{x}} als $f'$.
Dann bekomme ich für $g'=-\frac{2}{x^3}$ und für $f=-\frac{x^2}{b}e^{\frac{b}{x}}$.
Damit kriege ich weiter
$= \left[ -\frac{x^2}{b} e^{\frac{b}{x}} \right]_1^a - \int_1^a -\frac{x^2}{b} e^{\frac{b}{x}} * \left( -\frac{2}{x^3} \right) dx - \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a$
$= \left[ -\frac{x^2}{b} e^{\frac{b}{x}} \right]_1^a - \frac{2}{b} \int_1^a \frac{1}{x} e^{\frac{b}{x}} \right) dx - \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a$
Ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter machen soll. Wenn ich nochmal partielle Integration anwende, bekomme ich ja einen $\ln$ da rein.
Weiß jemand, was ich machen muss?
Danke und VG,
Nadine
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Hallo,
> Berechne das folgende Integral:
>
> [mm]\int_1^a \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy dx[/mm]
>
> Ich soll das obige Integral berechnen.
>
> Ich bin so weit gekommen:
>
> [mm]\int_1^a \left( \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy \right) dx[/mm]
>
> [mm]= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^3} * x * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx[/mm]
>
> [mm]= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^2} * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx[/mm]
>
> [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} - \frac{1}{x^2} \right) dx[/mm]
>
> [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx[/mm]
> - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>
Das ist bis dahin richtig* und es war auch eine gute Idee, die Differenz im Integranden in zwei Integrale aufzuteilen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
*EDIT: nicht ganz, siehe dazu die Mitteilung von HJKweseleit. Der Tipp mit der Substitution bleibt dennoch gültig.
> Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller
> Integration zu lösen...
Das mit der partiellen Integration ist hier nicht zielführend, egal wie man die Faktoren f' und g wählt (sofern ich mich nicht irre).
Verwende die Substition
[mm] u(x)=\frac{1}{x}
[/mm]
dann hat der (erste) Integrand nämlich sofort die Gestalt
[mm]-u'*e^{b*u}[/mm]
und man kann das Integral im Prinzip durch 'scharfes Hinsehen' erhalten (-> Kettenregel). Für den zweiten Integranden läuft es (bei Verwendung der korrekten Integrationsgrenzen für die Integration nach y) genauso.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 25.03.2018 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
> >
>
> Das ist bis dahin richtig* und es war auch eine gute Idee,
> die Differenz im Integranden in zwei Integrale aufzuteilen.
>
>
> *EDIT: nicht ganz, siehe dazu die Mitteilung von
> HJKweseleit. Der Tipp mit der Substitution bleibt dennoch
> gültig.
>
> > Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller
> > Integration zu lösen...
>
> Das mit der partiellen Integration ist hier nicht
> zielführend, egal wie man die Faktoren f' und g wählt
> (sofern ich mich nicht irre).
>
> Verwende die Substition
>
> [mm]u(x)=\frac{1}{x}[/mm]
>
> dann hat der (erste) Integrand nämlich sofort die Gestalt
>
> [mm]-u'*e^{b*u}[/mm]
>
> und man kann das Integral im Prinzip durch 'scharfes
> Hinsehen' erhalten (-> Kettenregel).
Ich habe jetzt dann folgendes:
Die Substitution ist:
[mm] $t=\frac{1}{x} \Rightarrow t'=-\frac{1}{x^2} \Rightarrow dx=-x^2*dt$
[/mm]
Dann folgt für das Integral:
[mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{b*\frac{1}{x}} \right) dx[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
[mm]= \int_1^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^2} * e^{b*t} (-x^2)*dt[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
[mm]= - \int_1^{\frac{1}{a}} e^{b*t} dt[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
$= [mm] \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} [/mm] - [mm] \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a$
[/mm]
$= [mm] \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} [/mm] + [mm] \left[ \frac{1}{x} \right]_1^a$
[/mm]
$- [mm] \frac{1}{b} e^{\frac{b}{a}} [/mm] - [mm] \frac{1}{b} e^b [/mm] + [mm] \frac{1}{a} [/mm] - 1$
Ist das so richtig?
> Für den zweiten
> Integranden läuft es (bei Verwendung der korrekten
> Integrationsgrenzen für die Integration nach y) genauso.
Das zweite Integral [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm] kann ich doch direkt aufleiten, oder nicht?
VG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Mo 26.03.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
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> > > [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx[/mm]
> - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
> > >
> >
> > Das ist bis dahin richtig* und es war auch eine gute Idee,
> > die Differenz im Integranden in zwei Integrale aufzuteilen.
> >
> >
> > *EDIT: nicht ganz, siehe dazu die Mitteilung von
> > HJKweseleit. Der Tipp mit der Substitution bleibt dennoch
> > gültig.
> >
> > > Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller
> > > Integration zu lösen...
> >
> > Das mit der partiellen Integration ist hier nicht
> > zielführend, egal wie man die Faktoren f' und g wählt
> > (sofern ich mich nicht irre).
> >
> > Verwende die Substition
> >
> > [mm]u(x)=\frac{1}{x}[/mm]
> >
> > dann hat der (erste) Integrand nämlich sofort die Gestalt
> >
> > [mm]-u'*e^{b*u}[/mm]
> >
> > und man kann das Integral im Prinzip durch 'scharfes
> > Hinsehen' erhalten (-> Kettenregel).
>
> Ich habe jetzt dann folgendes:
>
> Die Substitution ist:
>
> [mm]t=\frac{1}{x} \Rightarrow t'=-\frac{1}{x^2} \Rightarrow dx=-x^2*dt[/mm]
>
> Dann folgt für das Integral:
>
> [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{b*\frac{1}{x}} \right) dx[/mm]
> - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>
> [mm]= \int_1^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^2} * e^{b*t} (-x^2)*dt[/mm] -
> [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>
> [mm]= - \int_1^{\frac{1}{a}} e^{b*t} dt[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>
> [mm]= \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} - \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a[/mm]
>
> [mm]= \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} + \left[ \frac{1}{x} \right]_1^a[/mm]
>
> [mm]- \frac{1}{b} e^{\frac{b}{a}} - \frac{1}{b} e^b + \frac{1}{a} - 1[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nicht ganz. Es lautet : [mm]- \frac{1}{b} e^{\frac{b}{a}} +\frac{1}{b} e^b + \frac{1}{a} - 1[/mm]
>
>
>
> > Für den zweiten
> > Integranden läuft es (bei Verwendung der korrekten
> > Integrationsgrenzen für die Integration nach y) genauso.
>
> Das zweite Integral [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm] kann ich doch
> direkt aufleiten, oder nicht?
Nein , kannst Du nicht. Was soll aufleiten sein ? In meinem Wortschatz gibt es das nicht.
Du kannst das Integral direkt berechnen, was Du ja auch getan hast,
>
>
>
> VG Nadine
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> Berechne das folgende Integral:
>
> [mm]\int_1^a \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy dx[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich soll das obige Integral berechnen.
>
> Ich bin so weit gekommen:
>
> [mm]\int_1^a \left( \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy \right) dx[/mm]
>
> [mm]= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^3} * x * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx[/mm]
>
Ist die Untergrenze für y nicht 1 statt 0?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 So 25.03.2018 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Ist die Untergrenze für y nicht 1 statt 0?
0 ist richtig.
Das war ein Tippfehler, der mir beim Drüberlesen leider durchgegangen ist.
VG Nadine
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