Doppelintegral ... was zuerst? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 17.02.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Doppelintegral
[mm] \integral_{B}^{}\integral_{}^{}{3x^2-2y^3 dxdy}
[/mm]
B ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A(0,0), B(2,0), C(2,2) |
[mm] \integral_{B}^{}\integral_{}^{}{3x^2-2y^3 dxdy}
[/mm]
Als erstes habe ich das Dreieck in das Koordinatensystem gezeichnet und daraus die Bereiche abgelesen. Folglich ergibt sich:
[mm] \integral_{0}^{x}\integral_{0}^{2}{3x^2-2y^3 dxdy}
[/mm]
meine Frage ist nun, ob ich bei dieser Aufgabenstellung zuerst nach x oder zuerst nach y integrieren soll. Was wollen die raushaben? Eine neue Gleichung oder einen Wert?
oder kann ich das beliebig machen.
wenn ich zuerst nach x integriere und dann nach y erhalte ich ja eine neue Gleichung -> [mm] 8x-x^4
[/mm]
wenn ich zuerst nach y und dann nach x integriere erhalte ich [mm] \bruch{44}{5}
[/mm]
vielen Dank
pisty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Sa 17.02.2007 | | Autor: | dhaehn |
> Berechnen Sie das Doppelintegral
>
> [mm]\integral_{B}^{}\integral_{}^{}{3x^2-2y^3 dxdy}[/mm]
>
> B ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A(0,0),
> B(2,0), C(2,2)
> [mm]\integral_{B}^{}\integral_{}^{}{3x^2-2y^3 dxdy}[/mm]
>
> Als erstes habe ich das Dreieck in das Koordinatensystem
> gezeichnet und daraus die Bereiche abgelesen. Folglich
> ergibt sich:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{2}{3x^2-2y^3 dxdy}[/mm]
>
>
> meine Frage ist nun, ob ich bei dieser Aufgabenstellung
> zuerst nach x oder zuerst nach y integrieren soll. Was
> wollen die raushaben? Eine neue Gleichung oder einen Wert?
>
> oder kann ich das beliebig machen.
>
> wenn ich zuerst nach x integriere und dann nach y erhalte
> ich ja eine neue Gleichung -> [mm]8x-x^4[/mm]
>
> wenn ich zuerst nach y und dann nach x integriere erhalte
> ich [mm]\bruch{44}{5}[/mm]
>
>
> vielen Dank
>
> pisty
Hallo,
die äußere Grenze darf nicht von einer Variablen abhängen, nach der zuvor integriert wurde.
Dennoch kannst Du das Integral auf 2 Arten berechnen:
1. erst in x-Richtung
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{y}^{2}{3*x^2-2*y^3dxdy}=\bruch{44}{5}
[/mm]
2. erst in y-Richtung
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{x}{3*x^2-2*y^3dydx}=\bruch{44}{5}
[/mm]
Bei beiden Varianten muss dasselbe als Ergebnis rauskommen.
Gruß
Daniel
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