Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Di 29.05.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f\colon [0,1]\times[-1,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] die wie folgt definierte Funktion
[mm] $f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{cases}\sqrt{x_1^2-x_2^2}, & \text{für } $|x_2|
Berechnen Sie das Doppelintegral
[mm] $\displaystyle \int_{-1}^1\int_0^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2.$ [/mm]
Hinweis: Berechnen Sie zunächst [mm] $\int_0^1\int_{-1}^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_1$ [/mm] durch die Substitution [mm] $x_2=x_1\cos(t)$ [/mm] im inneren Integral. |
Hallo, ich habe hier mal wieder eine Frage zu einem Doppelintegral, und zwar weiß ich nicht so recht, wie ich das angehen soll. Ich habe schon überprüft, dass $f$ stetig ist, also dass man überhaupt die Reihenfolge tauschen darf, aber viel weiter bin ich noch nicht.
Wenn man zuerst das innere Integral berechnen will, dann müsste man ja irgendwie wie folgt (mithilfe der Substitution) vorgehen:
[mm] $x_2=x_1\cdot \cos(t) \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}=-x_1\sin(t) \iff \mathrm{d}x_2=-x_1\sin(t) \mathrm{d}t$
[/mm]
[mm] $\int_{-1}^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_2=\int_{-1}^1 \sqrt{x_1^2-x_2^2}\:\mathrm{d}x_2=\int_{?}^? -x_1\sin(t)\sqrt{x_1^2-x_1^2\cos^2(t)}\:\mathrm{d}t=-x_1^2 \int_{?}^? \sin(t)\sqrt{1-\cos^2(t)}\:\mathrm{d}t=-x_1^2 \int_{?}^? \sin^2(t)\:\mathrm{d}t= \dotsb [/mm] = [mm] -x_1 \left[\frac{t-\sin(t)\cos(t)}{2}\right]^?_?$ [/mm]
Ich denke mal, soweit sollte es passen, aber was macht man genau mit den Grenzen? Da wird man ja irgendwie mit der Bedingung oben [mm] ($|x_2|\leqslant x_1$, [/mm] also [mm] $f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=0$ [/mm] für [mm] $|x_2|>x_1$) [/mm] arbeiten müssen, oder? Die Grenzen werden ja kaum einfach [mm] $\int_{x_1\cos(-1)}^{x_1\cos(1)}$ [/mm] sein, weil dann integriere ich ja über nichts, wegen der Symmetrie vom Kosinus. Oder habe ich einfach falsch substituiert ("statt so zu substituieren, dass man mit [mm] $\mathrm{d}t$ [/mm] weiterrechnet, mit [mm] $\mathrm{d}x_1$ [/mm] weiterrechnen?)?
Der Transformationssatz kam übrigens (noch) nicht dran und sollte auch für die Aufgabe nicht nötig sein.
Könnt ihr mir da helfen? Ich glaube ich habe da noch ein paar Verständnisprobleme...
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> Es sei [mm]f\colon [0,1]\times[-1,1]\to\mathbb{R}[/mm] die wie folgt
> definierte Funktion
>
> [mm]$f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{cases}\sqrt{x_1^2-x_2^2}, & \text{für } $|x_2|
>
> Berechnen Sie das Doppelintegral
>
> [mm]\displaystyle \int_{-1}^1\int_0^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2.[/mm]
>
> Hinweis: Berechnen Sie zunächst [mm]\int_0^1\int_{-1}^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_2\mathrm{d}x_1[/mm]
> durch die Substitution [mm]x_2=x_1\cos(t)[/mm] im inneren
> Integral.
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> Hallo, ich habe hier mal wieder eine Frage zu einem
> Doppelintegral, und zwar weiß ich nicht so recht, wie ich
> das angehen soll. Ich habe schon überprüft, dass [mm]f[/mm] stetig
> ist, also dass man überhaupt die Reihenfolge tauschen
> darf, aber viel weiter bin ich noch nicht.
>
> Wenn man zuerst das innere Integral berechnen will, dann
> müsste man ja irgendwie wie folgt (mithilfe der
> Substitution) vorgehen:
>
> [mm]x_2=x_1\cdot \cos(t) \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}=-x_1\sin(t) \iff \mathrm{d}x_2=-x_1\sin(t) \mathrm{d}t[/mm]
>
> [mm]\int_{-1}^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_2=\int_{-1}^1 \sqrt{x_1^2-x_2^2}\:\mathrm{d}x_2=\int_{?}^? -x_1\sin(t)\sqrt{x_1^2-x_1^2\cos^2(t)}\:\mathrm{d}t=-x_1^2 \int_{?}^? \sin(t)\sqrt{1-\cos^2(t)}\:\mathrm{d}t=-x_1^2 \int_{?}^? \sin^2(t)\:\mathrm{d}t= \dotsb = -x_1 \left[\frac{t-\sin(t)\cos(t)}{2}\right]^?_?[/mm]
>
> Ich denke mal, soweit sollte es passen, aber was macht man
> genau mit den Grenzen? Da wird man ja irgendwie mit der
> Bedingung oben ([mm]|x_2|\leqslant x_1[/mm], also
> [mm]f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=0[/mm] für [mm]|x_2|>x_1[/mm])
> arbeiten müssen, oder? Die Grenzen werden ja kaum einfach
> [mm]\int_{x_1\cos(-1)}^{x_1\cos(1)}[/mm] sein, weil dann integriere
> ich ja über nichts, wegen der Symmetrie vom Kosinus. Oder
> habe ich einfach falsch substituiert ("statt so zu
> substituieren, dass man mit [mm]\mathrm{d}t[/mm] weiterrechnet, mit
> [mm]\mathrm{d}x_1[/mm] weiterrechnen?)?
>
> Der Transformationssatz kam übrigens (noch) nicht dran und
> sollte auch für die Aufgabe nicht nötig sein.
>
> Könnt ihr mir da helfen? Ich glaube ich habe da noch ein
> paar Verständnisprobleme...
Hallo Lustique,
der Vorschlag zur Substitution $\ [mm] x_2\ [/mm] =\ [mm] x_1*cos(t)$ [/mm] erscheint mir
sehr sonderbar. War da nicht vielleicht eher
$\ [mm] x_2\ [/mm] =\ [mm] x_1*tan(t)$ [/mm]
gemeint ? Dann könnte ich mir unter der Hilfsvariablen t
wenigstens etwas vorstellen ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 29.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
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> der Vorschlag zur Substitution [mm]\ x_2\ =\ x_1*cos(t)[/mm]
> erscheint mir
> sehr sonderbar. War da nicht vielleicht eher
>
> [mm]\ x_2\ =\ x_1*tan(t)[/mm]
>
> gemeint ? Dann könnte ich mir unter der Hilfsvariablen t
> wenigstens etwas vorstellen ...
>
> LG Al-Chw.
Hallo Al-Chwarizmi,
also dieser Vorschlag für die Substitution steht so auf dem Aufgabenzettel mit drauf, stammt also direkt vom Aufgabensteller selbst. Geht es denn mit [mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_1\cdot \cos(t)$ [/mm] gar nicht, bzw. wo liegt der Vorteil [mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_1\cdot \tan(t)$ [/mm] zu benutzen? Ist dann der nächste Schritt einfacher?
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Ich finde, die Substitution paßt. Den Formalismus hast du ja selbst richtig vorgeführt. Nicht beachtet hast du jedoch die stückweise Definition von [mm]f[/mm]. Der Integrationsbereich ist zwar formal das Rechteck [mm]R = [0,1] \times [-1,1][/mm], oberhalb der Geraden [mm]y=x[/mm] und unterhalb der Geraden [mm]y=-x[/mm] verschwindet jedoch der Integrand, so daß letztlich nur [mm]\sqrt{x^2 - y^2}[/mm] über das Dreieck [mm]\Delta[/mm] mit den Ecken [mm](0,0),(1,-1),(1,1)[/mm] zu integrieren ist.
[mm]\int_R f(x,y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_{\Delta} f(x,y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_0^1 \int_{\text{???}}^{\text{???}} \sqrt{x^2 - y^2} ~ \mathrm{d}y~\mathrm{d}x[/mm]
Im inneren Integral mußt du über die [mm]y[/mm]-Werte der vertikalen Strecke integrieren, die bei der Stelle [mm]x[/mm] aus [mm]\Delta[/mm] ausgeschnitten wird. Diese Grenzen hängen natürlich von [mm]x[/mm] ab. Dann kannst du im inneren Integral mit der vorgeschlagenen Substitution arbeiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> Ich finde, die Substitution paßt. Den Formalismus hast du
> ja selbst richtig vorgeführt. Nicht beachtet hast du
> jedoch die stückweise Definition von [mm]f[/mm]. Der
> Integrationsbereich ist zwar formal das Rechteck [mm]R = [0,1] \times [-1,1][/mm],
> oberhalb der Geraden [mm]y=x[/mm] und unterhalb der Geraden [mm]y=-x[/mm]
> verschwindet jedoch der Integrand, so daß letztlich nur
> [mm]\sqrt{x^2 - y^2}[/mm] über das Dreieck [mm]\Delta[/mm] mit den Ecken
> [mm](0,0),(1,-1),(1,1)[/mm] zu integrieren ist.
>
> [mm]\int_R f(x,y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_{\Delta} f(x,y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_0^1 \int_{\text{???}}^{\text{???}} \sqrt{x^2 - y^2} ~ \mathrm{d}y~\mathrm{d}x[/mm]
>
> Im inneren Integral mußt du über die [mm]y[/mm]-Werte der
> vertikalen Strecke integrieren, die bei der Stelle [mm]x[/mm] aus
> [mm]\Delta[/mm] ausgeschnitten wird. Diese Grenzen hängen
> natürlich von [mm]x[/mm] ab. Dann kannst du im inneren Integral mit
> der vorgeschlagenen Substitution arbeiten.
Danke für deinen Tipp! Ich habe jetzt Folgendes:
$ [mm] \int_{-1}^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_2=\int_{-1}^1 \sqrt{x_1^2-x_2^2}\:\mathrm{d}x_2=\int_{-x_1}^{x_1} \sqrt{x_1^2-x_2^2}\:\mathrm{d}x_2=\dotsb=-x_1\int_{\arccos(-1)}^{\arccos(1)} 1-\cos^2(t)\:\mathrm{d}t=x_1\int_0^\pi \sin^2(t)\:\mathrm{d}t=\dotsb=\frac{\pi}{2}x_1$ [/mm]
Ist das soweit richtig?
Als Endergebnis habe ich [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm] raus.
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> > Ich finde, die Substitution paßt. Den Formalismus hast du
> > ja selbst richtig vorgeführt. Nicht beachtet hast du
> > jedoch die stückweise Definition von [mm]f[/mm]. Der
> > Integrationsbereich ist zwar formal das Rechteck [mm]R = [0,1] \times [-1,1][/mm],
> > oberhalb der Geraden [mm]y=x[/mm] und unterhalb der Geraden [mm]y=-x[/mm]
> > verschwindet jedoch der Integrand, so daß letztlich nur
> > [mm]\sqrt{x^2 - y^2}[/mm] über das Dreieck [mm]\Delta[/mm] mit den Ecken
> > [mm](0,0),(1,-1),(1,1)[/mm] zu integrieren ist.
> >
> > [mm]\int_R f(x,y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_{\Delta} f(x,y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_0^1 \int_{\text{???}}^{\text{???}} \sqrt{x^2 - y^2} ~ \mathrm{d}y~\mathrm{d}x[/mm]
>
> >
> > Im inneren Integral mußt du über die [mm]y[/mm]-Werte der
> > vertikalen Strecke integrieren, die bei der Stelle [mm]x[/mm] aus
> > [mm]\Delta[/mm] ausgeschnitten wird. Diese Grenzen hängen
> > natürlich von [mm]x[/mm] ab. Dann kannst du im inneren Integral mit
> > der vorgeschlagenen Substitution arbeiten.
>
> Danke für deinen Tipp! Ich habe jetzt Folgendes:
>
> [mm]\int_{-1}^1 f\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\:\mathrm{d}x_2=\int_{-1}^1 \sqrt{x_1^2-x_2^2}\:\mathrm{d}x_2=\int_{-x_1}^{x_1} \sqrt{x_1^2-x_2^2}\:\mathrm{d}x_2=\dotsb=-x_1\int_{\arccos(-1)}^{\arccos(1)} 1-\cos^2(t)\:\mathrm{d}t=x_1\int_0^\pi \sin^2(t)\:\mathrm{d}t=\dotsb=\frac{\pi}{2}x_1[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Als Endergebnis habe ich [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] raus.
Hallo Lustique,
ich komme (auf etwas anderem Weg) zum Ergebnis [mm]\frac{\pi}{6}[/mm]
Ich werde mir deinen Lösungsweg jetzt aber auch noch
genauer ansehen, um dem offenbar noch vorliegenden
Fehler auf die Spur zu kommen.
Meine erste Vermutung ist aber, dass du die Grenzen
des Integrals über y (welche Leopold durch Fragezeichen
angedeutet hat) nicht richtig eingesetzt hast.
LG Al-Chw.
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Fast richtig.
Schreibfehler: Schon beim zweiten Integral müssen die Integrationsgrenzen wie beim dritten sein.
Rechenfehler: Beim vierten Integral ist der Vorfaktor zu quadrieren.
Formalfehler: Summen als Integranden müssen geklammert werden.
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Leopold hat schon geantwortet.
Bei meiner Rechnung mit der vorgeschlagenen Substitution
$\ y\ =\ x*cos(t)$ komme ich auf:
[mm] $\integral_{x=0}^{1}\ \integral_{t=\pi}^{0}\sqrt{x^2-(x*cos(t))^2}*\underbrace{x*(-sin(t))*dt}_{dy}*dx\ [/mm] =\ [mm] \integral_{x=0}^{1}dx*x^2*\integral_{t=0}^{\pi}(sin(t))^2\ [/mm] dt$
mit dem schon vorher angegebenen Resultat [mm] \frac{\pi}{6} [/mm] .
(ein Vorzeichenwechsel durch Vertauschung der Grenzen
des inneren Integrals ausgeglichen)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke noch mal euch beiden! Ich hatte bei meiner Rechnung, wenn man von den Formfehlern absieht, tatsächlich einfach nur den Vorfaktor falsch ausgeklammert (nicht quadriert), und bin nach Korrektur auch auf [mm] $\frac{\pi}{6}$ [/mm] gekommen.
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Nachträglich ist mir natürlich schon klar geworden, dass
die Substitution mittels $\ y\ =\ x*cos(t)$ vorteilhaft ist.
Man kann sie auch geometrisch interpretieren, so dass
t als ein Winkel erscheint.
LG Al-Chw.
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