Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Fr 15.07.2011 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | | [mm] $\int\int\mathrm{d}^{3}r_{1}\mathrm{d}^{3}r_{2}\frac{\exp[-\alpha(r_{1}+r_{2})]}{|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}|}$ [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der Auswertung dieses Integrals nicht weiter. Als Tipp habe ich erhalten, Kugelkoordinaten zu verwenden.
Damit wird das Integral zu:
[mm] $\int\int\mathrm{d}^{3}r_{1}\mathrm{d}^{3}r_{2}\frac{\exp[-\alpha(r_{1}+r_{2})]}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi_{1}\sin\theta_{1}\cos\varphi_{2}\sin\theta_{2}-2r_{1}r_{2}\sin\varphi_{1}\sin\theta_{1}\sin\varphi_{2}\sin\theta_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}}}$
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob es dadurch tatsächlich einfacher geworden ist.
Hat jemand eine Idee?
Gruß,
notinX
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Sa 16.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>
> [mm]\int\int\mathrm{d}^{3}r_{1}\mathrm{d}^{3}r_{2}\frac{\exp[-\alpha(r_{1}+r_{2})]}{|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}|}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme bei der Auswertung dieses Integrals nicht weiter.
> Als Tipp habe ich erhalten, Kugelkoordinaten zu verwenden.
> Damit wird das Integral zu:
>
> [mm]\int\int\mathrm{d}^{3}r_{1}\mathrm{d}^{3}r_{2}\frac{\exp[-\alpha(r_{1}+r_{2})]}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos\varphi_{1}\sin\theta_{1}\cos\varphi_{2}\sin\theta_{2}-2r_{1}r_{2}\sin\varphi_{1}\sin\theta_{1}\sin\varphi_{2}\sin\theta_{2}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}}}[/mm]
> Ich bin mir nicht sicher, ob es dadurch tatsächlich
> einfacher geworden ist.
>
> Hat jemand eine Idee?
Es kommt überhaupt nur ein Winkel vor, da in [mm] $|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}|$ [/mm] nur der Winkel zwischen den beiden Vektoren steckt. Daher kannst du für das innere Integral (über [mm] $r_2$) [/mm] dein Koordinatensystem immer so wählen, dass dessen z-Achse mit der Richtung von [mm] $\vec{r}_1$ [/mm] zusammenfällt, sodass der eingeschlossene Winkel [mm] $\theta_2$ [/mm] ist.
Zerlege die Exponentialfunktion, und das Integral über [mm] $r_2$ [/mm] vereinfacht sich zu
[mm] \integral d^3r_{2}\exp(-\alpha r_2) \bruch{1}{\wurzel{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2 \cos\theta_2}} = 2\pi \integral_0^\infty dr_2 r_2^2\exp(-\alpha r_2) \integral_{-1}^{+1} d(\cos\theta_2) \bruch{1}{\wurzel{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2 \cos\theta_2}}[/mm]
Tipp zur Kontrolle: das Integral über [mm] $d(\cos\theta_2) [/mm] $ ergibt [mm] $\bruch{2}{\max\{r_1,r_2\}}$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
