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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Do 22.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo und guten Nachmittag
Frage zu einem Doppelintegral: Wenn ich eine feste und eine Variable Grenze habe, so spielt es doch eine Rolle, welche ich als das äussere und welche als das innere Integral nehme? Doch ist nun die variable Grenze als inneres oder äusseres Integral zu definieren? Vielen Dank für die Hilfe, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 22.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo und guten Nachmittag
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> Frage zu einem Doppelintegral: Wenn ich eine feste und eine
> Variable Grenze habe, so spielt es doch eine Rolle, welche
> ich als das äussere und welche als das innere Integral
> nehme? Doch ist nun die variable Grenze als inneres oder
> äusseres Integral zu definieren? Vielen Dank für die
> Hilfe, Gruss Kuriger
Es macht nur [mm] \integral_A\left(\integral_{B(x)}f(x,y)dy\right)dx [/mm] Sinn, da die variable Grenze ja von etwas abhängt, was im äußeren Integral als erstes vorgegeben sein muss.
LG
gfm
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Hallo Kuriger,
im Gegensatz zu gfm bin ich der Ansicht, dass beides in
Frage kommen kann. Allerdings hat man unter Umständen
insgesamt kein "bestimmtes" Integral mehr, falls am Schluss
ein Ergebnis herauskommt, das noch von einer Variablen
abhängig ist - es könnte ja beispielsweise noch eine weitere
Integration folgen.
Die Integrationsreihenfolge würde ich also nicht aus einem
solch rein formalen Argument ableiten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Do 22.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo Kuriger,
>
> im Gegensatz zu gfm bin ich der Ansicht, dass beides in
> Frage kommen kann. Allerdings hat man unter Umständen
> insgesamt kein "bestimmtes" Integral mehr, falls am
> Schluss
> ein Ergebnis herauskommt, das noch von einer Variablen
> abhängig ist - es könnte ja beispielsweise noch eine
> weitere
> Integration folgen.
> Die Integrationsreihenfolge würde ich also nicht aus
> einem
> solch rein formalen Argument ableiten.
Ich habe meine Antwort innerhalb des in der Frage nicht gegebenen aber implizit vermuteten Kontextes gegeben, nämlich, dass die Ausgangslage die Berechnung von
[mm]\integral_{A}fd\lambda^n[/mm] mit konkret gegebenem [mm]A\in\mathcal{B}^n[/mm] und [mm]f\in\mathcal{L}^1(A)[/mm] sei, und man das auf eine Form [mm]\integral_{B}gd\lambda^n[/mm] mit [mm]B\in \mathcal{B}^n[/mm] und [mm]g\in \mathcal{L}^1(B)[/mm] bringen konnte und [mm]B[/mm] nun die auswertbare Gestalt [mm]B=\{(x,t)\in Q\times\IR:t\in[a(x),b(x)]\}[/mm] annehme, wobei [mm]Q[/mm] ein abgeschlossener Quader aus dem [mm]\IR^{n-1}[/mm] und [mm]a, b[/mm] zwei stetige Funktionen mit [mm]a\le b[/mm] auf [mm]Q[/mm] sind. In diesem Fall geht das Integral in die Form
[mm]\integral_Q\left(\integral_{[a(x),b(x)]}g(x,t)d\lambda(t)\right)d\lambda^{n-1}(x)[/mm]
über. Wenn also der Ausgangspunkt die Bestimmung einer rellen Zahl ist, kann auf äquivalentem Wege am Ende wiederum nur die Bestimmung einer rellen Zahl stehen. In diesem Sinne machen variable Grenzen am äußeren Integral kein Sinn.
LG
gfm
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> Frage zu einem Doppelintegral: Wenn ich eine feste und eine
> Variable Grenze habe
Hallo,
ich glaube, es ist am besten, wenn Du einfach mal (D)ein Integral postest.
Dann weiß man, worüber hier geredet werden soll, weil die Aufgabenstellung nicht der Fantasie eines jeden überlassen ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir doch einfach mal ein einfaches Beispiel (in der Hoffnung, etwas mehr Klarheit in die sache zu bringen):
Sei [mm] $\Delta \subseteq \IR^2$ [/mm] das Dreieck mit den Ecken (0,0), (1,0) und (1,1) und zu berechnen ist das Integral
(*) [mm] \integral_{\Delta}^{}{(2x+2y) d(x,y)}
[/mm]
(Skizze !).
Dann ist
[mm] $\integral_{\Delta}^{}{(2x+2y) d(x,y)}= \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x}{(2x+2y) dy}) dx}$.
[/mm]
Und wenn man das ausrechnet erhält man:
[mm] $\integral_{\Delta}^{}{(2x+2y) d(x,y)}=1$
[/mm]
Vertauscht man nun die Integrationsreihenfolge, so erhält man das Integral
[mm] $\integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{1}{(2x+2y) dx}) dy}$,
[/mm]
welches (rein formal) = [mm] $x+x^2$ [/mm] ist, und somit mit dem Integral in (*) gar nichts zu tun hat.
Nun sei Q das Quadrat mit den Ecken (0,0), (1,0) , (1,1) und (0,1) und definiert man die Funktion $f: Q [mm] \to \IR$ [/mm] durch
$f(x,y)=2x+2y$, falls (x,y) [mm] \in \Delta [/mm] und f(x,y)=0 für (x,y) [mm] \in [/mm] Q \ [mm] \Delta, [/mm]
so gilt nach Fubini:
[mm] $\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}) dy}= \integral_{Q}^{}{f(x,y) d(x,y)}= \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{f(x,y) dy}) dx}$
[/mm]
FRED
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