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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Divison komplexer Zahlen
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Divison komplexer Zahlen: Richtig oder Falsch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 16.11.2006
Autor: kapunkt

Aufgabe
Geben sie den Betrag und das Argument folgender komplexer Zahlen an:
.....
c) z = [mm] \overline{84-2i)(1+3i)} [/mm]
d) z = [mm] \bruch{(-1+i*\wurzel{3})^{13}*(\wurzel{3}+i)^{2}}{(1+i*\wurzel{3})^{11}} [/mm]

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

hy leute
ich hab hierzu mal ein paar fragen:

zu c):
das ist ja ne konjungierte komplexe zahl..kann ich mit der jetzt ganz normal weiterechnen oder muss ich sie erst "zurückkonjungieren" hab dazu nirgendswas gefunden
also ich habs jetzt mal auf zwei wegen gemacht

1. z = [mm] \overline{(4-2*i)*(1+3*i)} [/mm]
    [mm] \overline{z} [/mm] = (4+2*i)*(1-3*i)
    [mm] \overline{z} [/mm] = (4-6)+(12+2)*i
    [mm] \overline{z} [/mm] = -2+ 14*i
Betrag: [mm] \wurzel{200}=... [/mm]

2. z = [mm] \overline{4-2*i)*(1+3*i)} [/mm]
    z = [mm] \overline{(4-6)+(12-2)} [/mm]
       = [mm] \overline{-2+10*i} [/mm]

Betrag: [mm] \wurzel{104}=.... [/mm]

welche variante ist richtig

zu d)
da hab ich jetzt masl rumgerechnet bin mir aber nicht sicher ob das stimmt
ergebnis:
4-6,92820323*i
betrag : [mm] \wurzel{64}= [/mm] 8
argument: arccos [mm] \bruch{4}{8}= [/mm] 60

bitte helt mir
ich muss das zeug schriftlich abgeben
wäre echt nett
denn ich weiß nicht ob ich jetzt richitg gerechnet hab oder nicht bei d) stört mich vorallem die 6,928... obwohl nachher ein schöner betrag und winkel heraus kommt

mfg kapunkt
        
Bezug
Divison komplexer Zahlen: zur ersten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Fr 17.11.2006
Autor: Bastiane

Hallo kapunkt!

> Geben sie den Betrag und das Argument folgender komplexer
> Zahlen an:
>  .....
>  c) z = [mm]\overline{84-2i)(1+3i)}[/mm]
>  d) z =
> [mm]\bruch{(-1+i*\wurzel{3})^{13}*(\wurzel{3}+i)^{2}}{(1+i*\wurzel{3})^{11}}[/mm]
>  Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> hy leute
>  ich hab hierzu mal ein paar fragen:
>  
> zu c):
>  das ist ja ne konjungierte komplexe zahl..kann ich mit der
> jetzt ganz normal weiterechnen oder muss ich sie erst
> "zurückkonjungieren" hab dazu nirgendswas gefunden
>  also ich habs jetzt mal auf zwei wegen gemacht

Das kannst du ja selber mal ausprobieren, ob gilt: [mm] \overline{z_1*z_2}=\overline{z_1}*\overline{z_2}. [/mm] Nimm dir dafür einfach zwei komplexe Zahlen und rechne mal auf beide Weisen. Ich habe mich zwar gerade dabei verrechnet, aber normalerweise müsste das gelten. ;-)

> 1. z = [mm]\overline{(4-2*i)*(1+3*i)}[/mm]
>      [mm]\overline{z}[/mm] = (4+2*i)*(1-3*i)
>      [mm]\overline{z}[/mm] = (4-6)+(12+2)*i

Ich habe keine Ahnung, was du hier gerechnet hast. Du weißt aber, dass [mm] i^2=-1 [/mm] gilt, oder?

>      [mm]\overline{z}[/mm] = -2+ 14*i
>  Betrag: [mm]\wurzel{200}=...[/mm]
>  
> 2. z = [mm]\overline{4-2*i)*(1+3*i)}[/mm]
>      z = [mm]\overline{(4-6)+(12-2)}[/mm]
>         = [mm]\overline{-2+10*i}[/mm]
>  
> Betrag: [mm]\wurzel{104}=....[/mm]

Hier musst du dich auch irgendwo verrechnet haben (wohin verschwindet denn in der zweiten Zeile direkt das i? Ich glaube, das hast du unter den Tisch fallen lassen und statt dessen müsste da nämlich 4+6 stehen). Ich erhalte nämlich in beiden Fällen: z=10-10i. Womit allerdings dein Betrag [mm] \wurzel{200} [/mm] zufälligerweise stimmt.
  
> welche variante ist richtig

Beide. :-)

Die andere Aufgabe soll mal lieber jemand anders machen, da kenne ich mich nicht mehr mit aus...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
Bezug
        
Bezug
Divison komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Fr 17.11.2006
Autor: Herby

Hallo kapunkt :-)


> Geben sie den Betrag und das Argument folgender komplexer
> Zahlen an:
>  .....
>  c) z = [mm]\overline{84-2i)(1+3i)}[/mm]
>  d) z =
> [mm]\bruch{(-1+i*\wurzel{3})^{13}*(\wurzel{3}+i)^{2}}{(1+i*\wurzel{3})^{11}}[/mm]
>  Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> hy leute
>  ich hab hierzu mal ein paar fragen:
>  
> zu c):
>  das ist ja ne konjungierte komplexe zahl..kann ich mit der
> jetzt ganz normal weiterechnen oder muss ich sie erst
> "zurückkonjungieren" hab dazu nirgendswas gefunden
>  also ich habs jetzt mal auf zwei wegen gemacht
>
> 1. z = [mm]\overline{(4-2*i)*(1+3*i)}[/mm]
>      [mm]\overline{z}[/mm] = (4+2*i)*(1-3*i)
>      [mm]\overline{z}[/mm] = [mm] (4\red{+}6)\red{-}(12+2)*i [/mm]

denn: [mm] (4+2i)*(1-3i)=4*1-3*2*i^{2}+(2-12)*i=(4+6)+(2-12)i=10-10i [/mm]

hat ja auch Bastiane schon bestätigt :-)



>      [mm]\overline{z}[/mm] = -2+ 14*i
>  Betrag: [mm]\wurzel{200}=...[/mm]
>  
> 2. z = [mm]\overline{4-2*i)*(1+3*i)}[/mm]
>      z = [mm]\overline{(4\red{+}6)+(12-2)i}[/mm]
>         = [mm]\overline{-2+10*i}[/mm]
>  
> Betrag: [mm]\wurzel{104}=....[/mm]
>  
> welche variante ist richtig

beide Varianten, wenn du nicht die Vorzeichenfehler machst;

  
> zu d)
>  da hab ich jetzt masl rumgerechnet bin mir aber nicht
> sicher ob das stimmt
>  ergebnis:
>  4-6,92820323*i

Da musst du irgendwo einen Faktor 2 verloren haben :-) und ein „Minus“

Ergebnis: -8-13,85640646i

>  betrag : [mm]\wurzel{64}=[/mm] 8
>  argument: arccos [mm]\bruch{4}{8}=[/mm] 60

dementsprechend: [mm] 16*e^{-120i}=16*e^{240i} [/mm]


bei dieser Aufgabe ist es besser, wenn du erst alle Zahlen der Form a+bi in die Form [mm] r*e{\varphi*i} [/mm] bringst, dann geht die Berechung einfacher.

[mm] (-1+i*\wurzel{3})^{13}=8192*e^{120i}=A [/mm]

[mm] (\wurzel{3}+i)^2=4*e^{60i}=B [/mm]

[mm] (1+i*\wurzel{3})^{11}=2048*e^{-60i}=C [/mm]


[mm] A*B/C=\bruch{8192e^{120i}*4e^{60i}}{2048e^{-60i}}=\bruch{8192*4}{2048}*e^{120i+60i-(-60i)}=16*e^{240i}=16*e^{-120i} [/mm]


ich hoffe, das ist einigermaßen nachvollziehbar


Liebe Grüße
Herby


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