Divergenz Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Di 30.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo zusammen,
Ich würde gerne zeigen, dass
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\frac{cos(\frac{\theta}{2})}{sin^3(\frac{\theta}{2})} d\theta}
[/mm]
divergiert.
Aber:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\frac{cos(\frac{\theta}{2})}{sin^3(\frac{\theta}{2})} d\theta} [/mm] = [mm] \left[-\frac{1}{2sin^2(\frac{\theta}{2})}\right]_0^{4\pi}
[/mm]
=>
sein [mm] a_n [/mm] eine folge gegen [mm] 4\pi [/mm] und [mm] b_n [/mm] eine folge gegen 0
[mm] -\frac{1}{2sin^2(\frac{a_n}{2})}-(-\frac{1}{2sin^2(\frac{b_n}{2})})
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2sin^2(\frac{a_n}{2})}-(-\frac{1}{2sin^2(\frac{a_n}{2})})
[/mm]
= 0
(da [mm] sin(a_n)=sin(b_n))
[/mm]
also konvergiert das Integral. Das ist jedoch nicht das, was ich zeigen will. Wo liegt der Fehler bei der Grenzwertbetrachtung?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 30.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> Ich würde gerne zeigen, dass
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{\frac{cos(\frac{\theta}{2})}{sin^3(\frac{\theta}{2})} d\theta}[/mm]
>
> divergiert.
>
> Aber:
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{\frac{cos(\frac{\theta}{2})}{sin^3(\frac{\theta}{2})} d\theta}[/mm]
> =
> [mm]\left[-\frac{1}{2sin^2(\frac{\theta}{2})}\right]_0^{4\pi}[/mm]
Also ich habe das jetzt nur mit einem Funktionenplotter schnell geprüft, aber da sollte
[mm] $$\integral_{0}^{4\pi}\blue{{\frac{cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{sin^3\left(\frac{\theta}{2}\right)}} }\;d\theta=\left[-\frac{1}{sin^2(\frac{\theta}{2})}\right]_0^{4\pi}$$ [/mm] stehen. Bis auf eine multiplikative Konstante liegst Du aber richtig.
(Ich leite mal [mm] $\theta \mapsto f(\theta)=-\frac{1}{sin^2(\frac{\theta}{2})}$ [/mm] ab um zu testen, ob das stimmt:
[mm] $$f'(\theta)=-(-2)*\sin^{-3}(\theta/2)*\cos(\theta/2)*(1/2)=\blue{\frac{cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{sin^3\left(\frac{\theta}{2}\right)}}\,.)$$
[/mm]
> =>
> sein [mm]a_n[/mm] eine folge gegen [mm]4\pi[/mm] und [mm]b_n[/mm] eine folge gegen 0
>
> [mm]-\frac{1}{2sin^2(\frac{a_n}{2})}-(-\frac{1}{2sin^2(\frac{b_n}{2})})[/mm]
>
> [mm]=-\frac{1}{2sin^2(\frac{a_n}{2})}-(-\frac{1}{2sin^2(\frac{a_n}{2})})[/mm]
> = 0
> (da [mm]sin(a_n)=sin(b_n))[/mm]
>
> also konvergiert das Integral. Das ist jedoch nicht das,
> was ich zeigen will. Wo liegt der Fehler bei der
> Grenzwertbetrachtung?
Der Fehler liegt darin, dass Du aus [mm] $a_n \to 4\pi$ [/mm] und [mm] $b_n \to [/mm] 0$ folgerst, dass [mm] $\sin(a_n)=\sin(b_n)$ [/mm] gelte. Wählst Du natürlich [mm] $b_n \to [/mm] 0$ und speziell [mm] $a_n=4\pi+b_n$, [/mm] so stimmt das.
Mit [mm] $b_n \to [/mm] 0$ liefert Dir aber z.B. die Wahl von [mm] $a_n=4\pi+\blue{2}*b_n$ [/mm] das nicht. Vielmehr hättest Du mit dieser Wahl:
[mm] $\sin(a_n)=\sin(4\pi+2*b_n)=\sin(2b_n)=2\sin(b_n)*\cos(b_n)$.
[/mm]
Und als Tipp, um die Divergenz Deines Integrales einzusehen:
Wähle einmal [mm] $b_n \to [/mm] 0$ (entweder beliebig, oder [mm] $b_n=\frac{1}{n}$, [/mm] wenn Du es lieber konkret magst). Einerseits gilt dann mit [mm] $a^{(1)}_n=4\pi+b_n \to 4\pi$:
[/mm]
[mm] $$\left[-\frac{1}{2sin^2(\frac{\theta}{2})}\right]_{b_n}^{a^{(1)}_n}=0 \to 0\,,$$
[/mm]
andererseits mit [mm] $a^{(2)}_n=4\pi+2*b_n \to 4\pi$:
[/mm]
[mm] $$\left[-\frac{1}{2sin^2(\frac{\theta}{2})}\right]_{b_n}^{a^{(2)}_n}=-\frac{1}{\sin^2((4\pi+2b_n)/2)}+\frac{1}{\sin^2(b_n/2)}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{1}{\sin^2(b_n/2)}-\frac{1}{\sin^2(b_n)}=\frac{1}{\sin^2(b_n/2)}-\frac{1}{4*\sin^2(b_n/2)*cos^2(b_n/2)}\,.$$
[/mm]
Wogegen strebt nun [mm] $\left[-\frac{1}{2sin^2(\frac{\theta}{2})}\right]_{b_n}^{a^{(2)}_n}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$? [/mm]
(Tipp dazu: Klammer beim letzten Term mal [mm] $\frac{1}{\sin^2(b_n/2)}$ [/mm] vor.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Di 30.09.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
vielen Dank für Deine Antwort.
Gruss,
Bastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Marcels Antwort:
Für [mm] \theta [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] ist [mm] sin(\theta/2) [/mm] = 0 !!!
Über diese Singularität bügelst Du einfach hinweg.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Di 30.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ergänzend zu Marcels Antwort:
>
>
> Für [mm]\theta[/mm] = [mm]2\pi[/mm] ist [mm]sin(\theta/2)[/mm] = 0 !!!
>
>
> Über diese Singularität bügelst Du einfach hinweg.
ja Danke, dass Du darauf aufmerksam machst. @ Rutzel:
Wenn man [mm] $\int_0^{2\pi}$ [/mm] anstelle von [mm] $\int_0^{4\pi}$ [/mm] betrachtet, so wird Dir aber sicher klar sein, dass man analog zu meiner Argumentation erkennt, dass dieses nicht existiert.
Gruß,
Marcel
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