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Divergenz: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Fr 19.12.2008
Autor: Mathe-Alfi

Aufgabe
Sei a(n) mit n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n*a(n)=a [mm] \not= [/mm] 0.
Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] a(n) divergiert.

Hallo !

Ich hab etwas Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Es steht doch da, dass a(n) einen Grenzwert hat, dann kann die Folge doch nicht divergieren, oder?!

Vielen Dank schonmal!

Lg

        
Bezug
Divergenz: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Fr 19.12.2008
Autor: Roadrunner

Hallo Mathe-Alfi!


Zum einen hat der Ausdruck [mm] $\red{n}*a_$ [/mm] einen Grenzwert (und nicht [mm] $a_n$ [/mm] allein!).

Zum anderen ist es für die Konvergenz von [mm] $\summe a_n$ [/mm] ein, ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Fr 19.12.2008
Autor: fred97

Fall 1: a>0.

Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] na_n [/mm] > a/2 für n>N, also [mm] a_n [/mm] > [mm] \bruch{a}{2}\bruch{1}{n} [/mm] für n>N. Das Minoranten - Krit. liefert nun die Divergenz der Reihe


Fall 2: a<0.

Setze [mm] b_n [/mm] = [mm] -a_n [/mm] und b= -a. [mm] (b_n) [/mm] erfült die Vor. von Fall 1. also ist

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergent und damit auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm]


FRED

Bezug
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