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| Aufgabe | Gegeben sei V = [mm] \IR_{+} [/mm] mit den Operationen
x [mm] \oplus [/mm] y=xy und [mm] \lambda\odot x=x^\lambda (x,y\in [/mm] V, [mm] \lambda\in\IR).
[/mm]
Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] ist.[/i] |
Hallo,
an sich ist die Aufgabe auch kein Problem, aber an einer Stelle hakt es.
Dass [mm] (V,\oplus) [/mm] eine abelsche Gruppe ist, habe ich bereits gezeigt. Doch bei dem Nachweis des Distributivgesetzes
[mm] (\lambda\oplus\mu)\odot x=(\lambda\odot x)\oplus (\mu\odot [/mm] x) komme ich nicht weiter.
Mein Ansatz:
[mm] (\lambda\oplus\mu)\odot [/mm] x = [mm] (\lambda\mu)\odot x=x^{\lambda\mu}=(x^{\lambda})^{\mu}=(\lambda\odot x)^{\mu}=\mu\odot(\lambda\odot [/mm] x)=...
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Viele Grüße
Alex
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Sa 15.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo qwertz235 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Gegeben sei V = [mm]\IR_{+}[/mm] mit den Operationen
> x [mm]\oplus[/mm] y=xy und [mm]\lambda\odot x=x^\lambda (x,y\in[/mm] V,
> [mm]\lambda\in\IR).[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] ist.
> Dass [mm](V,\oplus)[/mm] eine abelsche Gruppe ist, habe ich bereits
> gezeigt. Doch bei dem Nachweis des Distributivgesetzes
> [mm](\lambda\oplus\mu)\odot x=(\lambda\odot x)\oplus (\mu\odot[/mm]
> x) komme ich nicht weiter.
Da hat sich ein kleiner Fehler in deine Gleichung eingeschlichen:
Das entsprechende Distributivgesetz lautet korrekterweise:
[mm] $(\lambda\green{+}\mu)\odot x=(\lambda\odot x)\oplus (\mu\odot [/mm] x)$
Beachte das grüne $+$.
Es handelt sich dabei um die Addition im Körper [mm] $\IR$, [/mm] nicht um die Addition im Vektorraum $V$.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Es geht um ein Distributivgesetz eines Vektorraumes, nicht einer Gruppe.
Im Zusammenhang mit beliebigen Gruppen kann man gar nicht von einem Distributivgesetz sprechen.
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