Diskussion des Wertebereichs < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Di 03.05.2011 | | Autor: | Joo325 |
| Aufgabe | Es sei [mm] $Ah=k\ast [/mm] h$ mit [mm] $\hat k(\xi [/mm] )= [mm] \frac{1+\beta\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$
[/mm]
Beweisen Sie das Spektrum $[0,max(1, [mm] \bruch{\beta^2}{4 (\beta - 1)})]$ [/mm] durch Diskussion des Wertebereichs von [mm] $\hat{k}$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich weiß zu obiger Aufgabe folgendes:
Das Spektrum ist rein stetig und in dem Intervall enthalten. [mm] \beta [/mm] ist eine Fouriervariable. Zähler und Nenner sind beide positiv, also ist der gesamte Bruch positiv, was die linke Seite des Intervalls ist.
Wenn x gegen 0 strebt, konvergiert [mm] $\hat [/mm] k$ gegen 1, soweit ist es auch noch klar. Was hat es nun mit [mm] $\bruch{\beta^2}{4 (\beta - 1)}$ [/mm] auf sich, wie komme ich auf diese Schranke?
Ich habe mal die 1. Ableitung berechnet, das ist [mm] $\bruch{2\beta x}{(x^2+1)^2} [/mm] - [mm] \bruch {4x(\beta x^2+1)}{(x^2+1)^3}$. [/mm] Ist es richtig, dass ich hiervon nun das Maximum berechne und dieses dann mit meinem Maximum des Spektrums (also [mm] $\bruch{\beta^2}{4 (\beta - 1)}$) [/mm] übereinstimmt? Sollte es wirklich so einfach sein?
Danke für eurer Antworten!
|
|
| |
|
Hallo Joo325,
> Es sei [mm]Ah=k\ast h[/mm] mit [mm]\hat k(\xi )= \frac{1+\beta\xi^2}{(1+\xi^2)^2}[/mm]
>
> Beweisen Sie das Spektrum [mm][0,max(1, \bruch{\beta^2}{4 (\beta - 1)})][/mm]
> durch Diskussion des Wertebereichs von [mm]\hat{k}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich weiß zu obiger Aufgabe folgendes:
> Das Spektrum ist rein stetig und in dem Intervall
> enthalten. [mm]\beta[/mm] ist eine Fouriervariable. Zähler und
> Nenner sind beide positiv, also ist der gesamte Bruch
> positiv, was die linke Seite des Intervalls ist.
> Wenn x gegen 0 strebt, konvergiert [mm]\hat k[/mm] gegen 1, soweit
> ist es auch noch klar. Was hat es nun mit [mm]\bruch{\beta^2}{4 (\beta - 1)}[/mm]
> auf sich, wie komme ich auf diese Schranke?
> Ich habe mal die 1. Ableitung berechnet, das ist
> [mm]\bruch{2\beta x}{(x^2+1)^2} - \bruch {4x(\beta x^2+1)}{(x^2+1)^3}[/mm].
> Ist es richtig, dass ich hiervon nun das Maximum berechne
> und dieses dann mit meinem Maximum des Spektrums (also
> [mm]\bruch{\beta^2}{4 (\beta - 1)}[/mm]) übereinstimmt? Sollte es
> wirklich so einfach sein?
Ja, das ist wirklich so einfach.
> Danke für eurer Antworten!
Gruss
MathePower
|
|
|
|
