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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:02 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Martin-85 |
| Aufgabe | Von einer [mm] 2\pi-periodischen [/mm] stetigen Fkt f seien 2n+1 [mm] \in \IN [/mm] Fkt-Werte [mm] y_{j}= f(x_{j}) [/mm] (j=0,1,...,2n) an den Stellen [mm] x_{j} [/mm] = [mm] \bruch{2 \p ij}{2n+1} [/mm] bekannt. Die Fourier-Koeffizienten [mm] c_{k}(f) [/mm] werden angenähert durch [mm] c_{k}^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n+1} \summe_{j=0}^{2n}f(x_{j})e^{-ikx_{j}}.
[/mm]
Die Fourier-Partialsumme wird approximiert durch [mm] I_{n}f(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=-n}^{n}c_{k}^{n}e^{ikx}.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Es gilt [mm] I_{n}f(x_{j}) [/mm] = [mm] y_{j} [/mm] für alle j = 0,1,...,2n.
b) Es gilt [mm] I_{n}p [/mm] = p für alle trigonometrischen Polynome p höchstens vom Grad n. |
Hallo!
Bin bei dieser Aufgabe gleich zu Beginn (wie so oft :/ ) stecken geblieben. Wollte a) mit Induktion beweisen, konnte aber die Richtigkeit für j=0 nicht zeigen:
[mm] I_{n}f(x_{0}) [/mm] = [mm] \summe_{k=-n}^{n}c_{k}^{n}e^{ik0} [/mm] = [mm] \summe_{k=-n}^{n}(\bruch{1}{2n+1}\summe_{j=0}^{2n}f(x_{j})e^{-ikx_{j}}) [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{2n}f(x_{j})e^{-ikx_{j}}
[/mm]
Nun hab ich mir überlegt, dass ja eigentlich [mm] e^{-ikx_{j}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{-ik 2 \pi j}{2n+1}} [/mm] = (cos(2 [mm] \pi [/mm] kj)-isin(2 [mm] \pi kj))^{\bruch{1}{n}} [/mm] = 1 ist, was mich aber verwundert weil man es dann bei der annäherung für [mm] c_{k}^{n} [/mm] ja weglassen könnte. Auf jeden Fall ist [mm] \summe_{j=0}^{2n}f(x_{j}) [/mm] nicht [mm] f(x_{j}) [/mm] und [mm] \summe_{j=0}^{2n}f(x_{j})e^{-ikx_{j}} [/mm] auch nicht (jedenfalls soweit ich es sehe). Was habe ich da falsch gemacht oder wo liegt mein Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Martin-85 |
Die Frage hat sich inzwischen erledigt.
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