Disjunkte Zerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 05.11.2007 | | Autor: | H8U |
Sei G eine Gruppe und U [mm] \le [/mm] G.
Zeigen Sie:
Ist G = [mm] \bigcup_{ j \in J }^{.} g_j [/mm] U eine disjunkte Zerlegung in Linksnebenklassen, so ist G = [mm] \bigcup_{ j \in J }^{.} [/mm] U [mm] g_j^{-1}
[/mm]
eine disjunkte Zerlegung in Rechtsnebenklassen.
Wie kann ich beweisen, dass wenn das erste Argument eine disjunkte Zerlegung in Linksnebenklassen ist, dann das andere Argument eine disjunkte Zerlegung in Rechtsnebenklassen ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
betrachte [mm] $\iota: [/mm] G [mm] \longrightarrow [/mm] G; [mm] \; [/mm] g [mm] \longmapsto g^{-1}$ [/mm] und zeige, dass [mm] $\iota(g_j [/mm] U) = [mm] Ug_j^{-1}$ [/mm] beziehungsweise [mm] $\iota(Ug_j^{-1}) [/mm] = g_jU$. daraus folgt dann alles.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 07.11.2007 | | Autor: | thomas_d |
| Aufgabe | | betrachte $ [mm] \iota: [/mm] G [mm] \longrightarrow [/mm] G; [mm] \; [/mm] g [mm] \longmapsto g^{-1} [/mm] $ und zeige, dass $ [mm] \iota(g_j [/mm] U) = [mm] Ug_j^{-1} [/mm] $ bezihungsweise $ [mm] \iota(Ug_j^{-1}) [/mm] = g_jU $. daraus folgt dann alles. |
kannst du das vielleicht noch etwas genauer erklären ich steh da etwas aufm schlauch
danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
was genau ist dir denn unklar? wie man die aussage, die ich angegeben habe zeigt? oder warum daraus die korespodenz zwischen den zerlegungen folgt?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mi 07.11.2007 | | Autor: | thomas_d |
genau
wie man das nämlich zeigt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also ich vermute du kannst nicht zeigen, dass [mm] $\iota(g_jU) [/mm] = [mm] Ug_j^{-1}$?
[/mm]
also zuerst die inklusion [mm] "$\subseteq$": [/mm] sei $x [mm] \in [/mm] g_jU$, das heißt es gibt ein $u [mm] \in [/mm] U$ mit $x = g_ju$. dann ist [mm] $\iota(x) [/mm] = [mm] \iota(g_ju) [/mm] = [mm] (g_ju)^{-1} [/mm] = [mm] u^{-1}g_j^{-1}$ [/mm] (kannst du jeden dieser schritte begründen?). warum gilt nun [mm] $\iota(x) \in Ug_j^{-1}$?
[/mm]
kannst du dann die inklusion [mm] "$\supseteq$" [/mm] zeigen?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mi 07.11.2007 | | Autor: | thomas_d |
ich werds mal durchdenken muss retzt aber los wenn melde ich mich heut aben nochmal
danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 07.11.2007 | | Autor: | thomas_d |
| Aufgabe | | also zuerst die inklusion "$ [mm] \subseteq [/mm] $": sei $ x [mm] \in [/mm] g_jU $, das heißt es gibt ein $ u [mm] \in [/mm] U $ mit $ x = g_ju $. dann ist $ [mm] \iota(x) [/mm] = [mm] \iota(g_ju) [/mm] = [mm] (g_ju)^{-1} [/mm] = [mm] u^{-1}g_j^{-1} [/mm] $ (kannst du jeden dieser schritte begründen?). warum gilt nun $ [mm] \iota(x) \in Ug_j^{-1} [/mm] $? |
also die schritte die du da gegangen bist verstehe ich
bleibt noch die die frage warum das inverse von u gleich U ist (ich würd jetzt sagen weil das inverse teil der menge U ist lieg ich da falsch?)
so dann noch beim umgekehrten weg muss ich doch dann nur den gleichen weg zurück gehen oder?
gruß tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> also zuerst die inklusion "[mm] \subseteq [/mm]": sei [mm]x \in g_jU [/mm],
> das heißt es gibt ein [mm]u \in U[/mm] mit [mm]x = g_ju [/mm]. dann ist
> [mm]\iota(x) = \iota(g_ju) = (g_ju)^{-1} = u^{-1}g_j^{-1}[/mm]
> (kannst du jeden dieser schritte begründen?). warum gilt
> nun [mm]\iota(x) \in Ug_j^{-1} [/mm]?
> also die schritte die du da gegangen bist verstehe ich
>
> bleibt noch die die frage warum das inverse von u gleich U
> ist
nein. du willst ja, dass [mm] $u^{-1}g_j^{-1} \in Ug_j^{-1}$ [/mm] liegt, dafür muss nicht [mm] $u^{-1} [/mm] = u$ gelten, sondern nur [mm] $u^{-1} \in [/mm] U$ (schau dir am besten nochmals die definition von nebenklassen an).
> (ich würd jetzt sagen weil das inverse teil der menge U
> ist lieg ich da falsch?)
das stimmt schon grundsätzlich. es gilt [mm] $u^{-1} \in [/mm] U$, da $U$ untergruppe ist.
> so dann noch beim umgekehrten weg muss ich doch dann nur
> den gleichen weg zurück gehen oder?
schreib das mal formal aus. nimm also ein $y [mm] \in Ug_j^{-1}$ [/mm] und zeige, dass dann $y [mm] \in \iota(g_jU)$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 07.11.2007 | | Autor: | thomas_d |
ich sage dankeschön und auf wiedersehen
danke für deine hilfe
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Hallo,
ich verstehe ja dass meiste der Antwort komme aber nich drauf warum das hier:
[mm] \iota(g_ju) [/mm] = [mm] (g_ju)^{-1}
[/mm]
richtig ist!
Muss man das nicht vielleicht irgendwie begründen?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 11.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
schau dir mal die definition von [mm] $\iota$ [/mm] an. was macht diese abbildung mit einem element, das heißt was ist [mm] $\iota(y)$?
[/mm]
grüße
andreas
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