Dirichletsches Integral < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Es geht um eine [mm] \delta [/mm] -Funktion, mit folgender Darstellung:
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty}=\frac{1}{\pi}\frac{\sin(ax)}{x}
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{-l}^{l}{ \frac{1}{\pi}\frac{\sin (ax)}{x} dx } [/mm] = 1
mit l>0.
Als Hinweis soll ich das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-\alpha u} \frac{\sin u}{u} du}
[/mm]
und seine Ableitung
[mm] \frac{dI}{d\alpha}
[/mm]
anschauen. (Irgendwie funktioniert der LaTeX-Code nicht, obwohl da keine Fehler drin sind?) Die Funktion [mm] I(\alpha) [/mm] kann ich einfach nicht integrieren... Gibt es da einen Trick? Um [mm] \frac{dI}{d\alpha} [/mm] zu bestimmen, muss ich doch erst nach u integrieren oder kann man da eine Abkuerzung nehmen?
Achja, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Es geht um eine [mm]\delta[/mm] -Funktion, mit folgender
> Darstellung:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}=\frac{1}{\pi}\frac{\sin(ax)}{x}[/mm]
>
> Zu zeigen ist:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{-l}^{l}{ \frac{1}{\pi}\frac{\sin (ax)}{x} dx }[/mm]
> = 1
>
> mit l>0.
>
> Als Hinweis soll ich das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-\alpha u} \frac{\sin u}{u} du}[/mm]
>
> und seine Ableitung
>
> [mm]\frac{dI}{d\alpha}[/mm]
>
> anschauen. (Irgendwie funktioniert der LaTeX-Code nicht,
> obwohl da keine Fehler drin sind?) Die Funktion [mm]I(\alpha)[/mm]
> kann ich einfach nicht integrieren... Gibt es da einen
> Trick? Um [mm]\frac{dI}{d\alpha}[/mm] zu bestimmen, muss ich doch
> erst nach u integrieren oder kann man da eine Abkuerzung
> nehmen?
Du hast hier ja ein ![[]](/images/popup.gif) Parameterintegral. Unter gewissen voraussetzungen, die in diesem fall erfuellt sind, kann man die ableitung dann einfach unter das integral ziehen.
VG
Matthias
>
> Achja, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hm verstehe nicht ganz. Wie gehe ich dann vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
versuch das Integral nach dem Parameter abzuleiten und dann zu Integrieren, indem du die Ableitung unter das Integral ziehst.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
|
