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Dirichletfunktion punktw. konv: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Do 10.01.2008
Autor: Beatrice2

Hallo!
Ich hab hier eine Aufgabe, die ich recht komplitziert finde. Ich soll bei der Dirichletfunktion.

d(x) = 0,  kein Element Q
        = 1/q, x= p/q mit teilerfremden p,q, und q > 0

Aufgabe: konstruiere eine Folge stetiger Funktionen die punktweise gegen d konvergiert.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Dirichletfunktion punktw. konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Sa 12.01.2008
Autor: Somebody


> Hallo!
>  Ich hab hier eine Aufgabe, die ich recht komplitziert
> finde. Ich soll bei der Dirichletfunktion.
>  
> d(x) = 0,  kein Element Q
>          = 1/q, x= p/q mit teilerfremden p,q, und q > 0

>  
> Aufgabe: konstruiere eine Folge stetiger Funktionen die
> punktweise gegen d konvergiert.
>  

Ich hätte die folgende, wohl nicht beliebig elegant formulierte (formulierbare?) Lösung anzubieten: [mm] Sei$f_n$ [/mm] diejenige (stetige) Funktion [mm] $\IR\rightarrow \IR$, [/mm] deren Graph die lineare Interpolation der Punkte

[mm]\big\{\big(\tfrac{p}{q}\mid \tfrac{1}{q}\big) : q\in \IN, p \in \IZ, q\leq n, p \text{ und } q \text{ teilerfremd}\big\}[/mm]

ist.
Nun hätte man sich also zu überlegen, ob diese Folge stetiger Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] wohldefiniert ist und für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=d(x)$ [/mm] besitzt. Letztere Eigenschaft wird man mit Hilfe einer, der Definition von $d(x)$ folgenden Fallunterscheidung [mm] ($x\notin \IQ$, $x\in \IQ$) [/mm] beweisen müssen.


Bezug
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