Direkte Summe von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 11.10.2013 | | Autor: | TNA-619 |
| Aufgabe | Es seien [mm] A_1,A_2,A_3 [/mm] nichtleere Unterräume von V und es gelte [mm] V=A_1\oplus A_2=A_2\oplus A_3=A_3\oplus A_1
[/mm]
Zeige, dass es einen zwei-dimensionalen Unterraum W von V gibt, sodass die Durchschnitte [mm] W\cap A_i [/mm] ein-dimensional sind. |
Hallo,
sitze schon zu lange an dieser Aufgabe...
Weil wir keine spezielle Information haben, ist es naheliegend einfach beliebige [mm] w_1\in A_1, w_2 \in A_2 [/mm] zu wählen und [mm] W=\langle w_1,w_2 \rangle [/mm] zu versuchen.
Weil die Summen direkt sind, ist W sicher zwei-dimensional und die Durchschnitte [mm] W\cap A_1, W\cap A_2 [/mm] jeweils ein-dimensional.
Wir müssen also nur noch zeigen, dass [mm] \langle w_1,w_2 \rangle \cap A_3 [/mm] auch ein-dimensinal ist.
Dieser Durchschnitt kann mal nicht zweidimensional sein, denn dann wäre z.B. [mm] w_1\in A_3. [/mm] Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass es nicht null-dimensional sein kann. Aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich die direkte Summenbedingung dafür verwenden kann.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 11.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TNA-619,
> Es seien [mm]A_1,A_2,A_3[/mm] nichtleere Unterräume von V und es
> gelte [mm]V=A_1\oplus A_2=A_2\oplus A_3=A_3\oplus A_1[/mm]
>
> Zeige, dass es einen zwei-dimensionalen Unterraum W von V
> gibt, sodass die Durchschnitte [mm]W\cap A_i[/mm] ein-dimensional
> sind.
Nichtleer sind Unterräume eigentlich immer... Vielleicht ist gemeint: Unterräume ungleich dem Null-Unterraum? Davon gehe ich im Folgenden mal aus.
> Weil wir keine spezielle Information haben, ist es
> naheliegend einfach beliebige [mm]w_1\in A_1, w_2 \in A_2[/mm] zu
> wählen und [mm]W=\langle w_1,w_2 \rangle[/mm] zu versuchen.
Wenn du zusätzlich [mm] $w_1,w_2\not=0$ [/mm] forderst, schien mir das zunächst auch eine gute Idee!
Dass solche Vektoren existieren, folgt daraus, dass es sich bei [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] nicht um den Null-Untervektorraum handelt.
> Weil die Summen direkt sind, ist W sicher zwei-dimensional
> und die Durchschnitte [mm]W\cap A_1, W\cap A_2[/mm] jeweils
> ein-dimensional.
Mit der Bedingung [mm] $w_1,w_2\not=0$ [/mm] ja!
> Wir müssen also nur noch zeigen, dass [mm]\langle w_1,w_2 \rangle \cap A_3[/mm]
> auch ein-dimensinal ist.
>
> Dieser Durchschnitt kann mal nicht zweidimensional sein,
> denn dann wäre z.B. [mm]w_1\in A_3.[/mm]
Ja.
> Jetzt müsste man nur noch
> zeigen, dass es nicht null-dimensional sein kann. Aber ich
> weiß beim besten Willen nicht, wie ich die direkte
> Summenbedingung dafür verwenden kann.
Und genau hier kann es leider schiefgehen, wie ich mir an einem Beispiel im [mm] $\IR^4$ [/mm] überlegt habe.
Man muss also die Wahl von $W$ noch schlauer treffen.
In welcher Weise so eine Wahl möglich ist, habe ich bisher leider auch noch nicht herausgefunden. Ich lasse die Frage daher als nur teilweise beantwortet markiert.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Fr 11.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Jetzt habe ich (wenn ich nichts übersehen habe...) eine Möglichkeit für eine Wahl von $W$ mit den gewünschten Eigenschaften gefunden:
Wähle zunächst ein [mm] $a_1\in A_1\setminus\{0\}$ [/mm] beliebig.
Insbesondere [mm] $a_1\in V=A_2+A_3$, [/mm] also existieren [mm] $a_2\in A_2$ [/mm] und [mm] $a_3\in A_3$ [/mm] mit [mm] $a_1=a_2+a_3$.
[/mm]
Setze [mm] $W:=\langle a_2,a_3\rangle$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Fr 11.10.2013 | | Autor: | TNA-619 |
Das ist es! Super, danke!
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