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| Aufgabe | | Es seien $K$ ein Körper und $U,V,W$ drei $K$-Vektorräume. Weiter seien [mm] $f\in [/mm] Hom(U,V)$ und [mm] $g\in [/mm] Hom(V,W)$ derart, dass [mm] $g\circ [/mm] f$ ein Vektorraumisomorphismus ist. Zeige [mm] $V=im(f)\oplus [/mm] ker(g)$. |
Hallo liebe Helfer,
Mit der Aufgabe hab ich so meine Schwierigkeiten. Zu zeigen ist ja:
(i) $V=im(f)+ker(g)$
(ii) [mm] $im(f)\cap ker(g)=\{0\}$
[/mm]
Zu (i) wollte ich einfach beide Teilinklusionen zeigen, doch schon beim Schritt [mm] $"\subseteq"$ [/mm] hab ich so meine Schwierigkeiten. Ich nehme mir ein [mm] $v\in [/mm] V$ und will dann [mm] $v\in im(f)\oplus [/mm] ker(g)$ zeigen. Dabei sei [mm] $v\not= [/mm] 0$ (sonst klar).
Meiner Meinung nach ergeben sich nun 2 Möglichkeiten, zum einen:
[mm] $v\in [/mm] im(f) [mm] \vee v\in [/mm] ker(g)$
dann wäre [mm] $v\in im(f)\oplus [/mm] ker(g)$ leicht zu sehen.
Die andere Möglichkeit wäre (glaube ich zumindest), dass v weder in $im(f)$ noch in $ker(g)$ ist, also [mm] $v\not\in im(f)\cup [/mm] ker(g)$ und ich weiß nicht, wie ich dann [mm] $v\in im(f)\oplus [/mm] ker(g)$ zeigen soll.
Aus [mm] $g\circ [/mm] f$ VRiso. folgt dann direkt (ii). Inwiefern mir diese Info allerdings bei (i) helfen soll, weiß ich nicht.
Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand einen Denkanstoß, oder auch zwei geben könnte.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 07.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo SiuNimTau!
> Es seien [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]U,V,W[/mm] drei [mm]K[/mm]-Vektorräume.
> Weiter seien [mm]f\in Hom(U,V)[/mm] und [mm]g\in Hom(V,W)[/mm] derart, dass
> [mm]g\circ f[/mm] ein Vektorraumisomorphismus ist. Zeige
> [mm]V=im(f)\oplus ker(g)[/mm].
> Zu
> zeigen ist ja:
> (i) [mm]V=im(f)+ker(g)[/mm]
> (ii) [mm]im(f)\cap ker(g)=\{0\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu (i) wollte ich einfach beide Teilinklusionen zeigen,
Genau. Dabei ist [mm] "$\supseteq$" [/mm] klar, da $im(f)+ker(g)$ ein Unterraum von $V$ ist.
> doch schon beim Schritt [mm]"\subseteq"[/mm] hab ich so meine
> Schwierigkeiten. Ich nehme mir ein [mm]v\in V[/mm] und will dann
> [mm]v\in im(f)\oplus ker(g)[/mm] zeigen.
> Dabei sei [mm]v\not= 0[/mm] (sonst
> klar).
> Meiner Meinung nach ergeben sich nun 2 Möglichkeiten, zum
> einen:
> [mm]v\in im(f) \vee v\in ker(g)[/mm]
> dann wäre [mm]v\in im(f)\oplus ker(g)[/mm]
> leicht zu sehen.
>
> Die andere Möglichkeit wäre (glaube ich zumindest), dass
> v weder in [mm]im(f)[/mm] noch in [mm]ker(g)[/mm] ist, also [mm]v\not\in im(f)\cup ker(g)[/mm]
> und ich weiß nicht, wie ich dann [mm]v\in im(f)\oplus ker(g)[/mm]
> zeigen soll.
Fallunterscheidung ist hier nicht nötig.
Gesucht sind [mm] $v_1\in [/mm] im(f)$ und [mm] $v_2\in [/mm] ker(g)$ mit [mm] $v=v_1+v_2$.
[/mm]
Betrachte [mm] $w:=g(v)\in [/mm] W$.
Da [mm] $g\circ [/mm] f$ als Isomorphismus insbesondere surjektiv ist, existiert ein [mm] $u\in [/mm] U$ mit [mm] $(g\circ [/mm] f)(u)=w$.
Überlege dir, dass [mm] $v_1:=f(u)$ [/mm] und [mm] $v_2:=v-v_1$ [/mm] das Gewünschte leisten.
> Aus [mm]g\circ f[/mm] VRiso. folgt dann direkt (ii).
Das würde ich näher ausführen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Di 08.04.2014 | | Autor: | SiuNimTau |
Hallo tobit09,
vielen Dank für deine Antwort.
Liebe Grüße
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